Oraux CCP Analyse

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{*},$ on pose

1. (a)

   Montrer l’existence, pour $\theta \in ]0;\pi [,$ d’un réel $M_{\theta }$ vérifiant

   $$\left|S_n\right|\le M_{\theta }\mathit{\hspace{1em}}\text{pour tout }n\in {\mathbb{N}}^{*}$$

2. (b)

   Montrer que $x\mapsto \frac{\sqrt{x}}{x-1}$ est décroissante sur $[2;+\mathrm{\infty }[.$

3. (c)

   En remarquant de $\cos (n\theta )=S_n-S_{n-1},$ étudier la convergence de la série de terme général

   $$u_n=\frac{\sqrt{n}}{n-1}\cos (n\theta )\text{.}$$

4. (d)

   En utilisant $\left|\cos (k\theta )\right|\ge {\cos }^2(k\theta ),$ étudier la convergence de $\sum |u_n|.$

Étudier la nature de la série de terme général

pour $\alpha >0.$

1. (a)

   Déterminer la limite de la suite définie par

   $$u_0\ge 0\text{ et }\forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=\frac{{\mathrm{e}}^{-u_n}}{n+1}\text{.}$$

2. (b)

   Déterminer la limite de la suite définie par

   $$v_n=n{u}_n\text{.}$$

3. (c)

   Donner la nature de la série $\sum u_n$ et celle de la série $\sum {(-1)}^n{u}_n$

On pose

1. (a)

   Déterminer une suite de fonctions $(f_n)$ telle que

   $$I_n={\int }_0^1{f}_n(t)\mathrm{d}t\text{.}$$

2. (b)

   Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que

   $$I_n=a+\frac{b}{n}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{n}\right)\text{ quand }n\to +\mathrm{\infty }\text{.}$$

1. (a)

   Justifier que

   $$G(x,y)={\int }_0^y\frac{t-\lfloor t\rfloor }{t(t+x)}\mathrm{d}t$$

   où $\lfloor t\rfloor$ représente la partie entière de $t,$ est définie sur ${({\mathbb{R}}_{+}^{*})}^2$.

2. (b)

   Montrer que $G(x,y)$ tend vers une limite $G(x)$ quand $y$ tend vers $+\mathrm{\infty }.$

3. (c)

   Montrer que

   $$\forall n\in {\mathbb{N}}^{*},G(n,y)=\frac{1}{n}({\int }_0^n\frac{t-\lfloor t\rfloor }{t}\mathrm{d}t-{\int }_y^{y+n}\frac{t-\lfloor t\rfloor }{t}\mathrm{d}t)\text{.}$$

4. (d)

   On note $H(n)=nG(n)$; montrer que la série de terme général

   $$H(n)-H(n-1)-\frac{1}{2n}$$

   converge et en déduire un équivalent de $G(n).$

Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ telle que $f^{\mathrm{\prime \prime }}$ est intégrable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et telle que l’intégrale ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t$ soit convergente.

1. (a)

   Montrer que

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x)=0\text{ et }\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0\text{.}$$

2. (b)

   Étudier les séries

   $$\sum f(n)\text{ et }\sum f^{\prime }(n)\text{.}$$

1. (a)

   Calculer

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1+x^2}{1+x^4}\mathrm{d}x$$

   en effectuant notamment le changement de variable $x={\mathrm{e}}^t.$ On pourra employer l’identité $\mathrm{ch}\mathit{}\mathrm{(}\mathrm{2}\mathit{}t\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathit{}{\mathrm{sh}}^{\mathrm{2}}\mathit{}\mathrm{(}t\mathrm{)}.$

2. (b)

   En déduire la valeur de

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^4}\text{.}$$

Soit $g$ définie sur ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$ par

où $f$ est continue, de carré intégrable sur ${\mathbb{R}}_{+}$.

1. (a)

   Étudier le prolongement par continuité de $g$ en 0.

2. (b)

   Exprimer $g^{\prime }(x)$ en fonction de $f(x)$ et de $g(x)$ pour $x>0.$

3. (c)

   Pour $0<a<b,$ montrer que

   $${\int }_a^b{g}^2(t)\mathrm{d}t=2{\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t+a{g}^2(a)-b{g}^2(b)$$

   puis montrer que

   $$\sqrt{{\int }_a^b{g}^2(t)\mathrm{d}t}\le \sqrt{{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{f}^2(t)\mathrm{d}t}+\sqrt{a{g}^2(a)+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{f}^2(t)\mathrm{d}t}\text{.}$$

4. (d)

   Étudier la nature de

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{g}^2(t)\mathrm{d}t\text{.}$$

1. (a)

   $a$ désigne un réel strictement supérieur à $-1.$ En posant $x=\tan t,$ montrer

   $${\int }_0^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}t}{1+a{\sin }^2(t)}=\frac{\pi }{2\sqrt{1+a}}\text{.}$$

2. (b)

   Donner en fonction de $\alpha >0,$ la nature de la série

   $$\sum {\int }_0^{\pi }\frac{\mathrm{d}t}{1+{(n\pi )}^{\alpha }{\sin }^2(t)}\text{.}$$

3. (c)

   Même question pour

   $$\sum {\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{\alpha }{\sin }^2(t)}\text{.}$$

4. (d)

   Donner la nature de l’intégrale

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{\alpha }{\sin }^2(t)}\text{.}$$

1. (a)

   Étudier l’intégrabilité sur $]1;+\mathrm{\infty }[$ de

   $$f(x)=\frac{\sqrt{\ln x}}{(x-1)\sqrt{x}}\text{.}$$

2. (b)

   Montrer

   $${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x\le \frac{\ln 3}{2}\text{.}$$

On considère

1. (a)

   Étudier l’intégrabilité de $f$ sur $]0;1]$ et $[1;+\mathrm{\infty }[.$

2. (b)

   Calculer

   $${\int }_0^1\frac{\ln t}{{(1+t)}^2}\mathrm{d}t\text{ et }{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln t}{{(1+t)}^2}\mathrm{d}t\text{.}$$

1. (a)

   Montrer que

   $$\forall x\in \mathbb{R},{\mathrm{e}}^x\ge 1+x\text{.}$$

   En déduire

   $$\forall t\in \mathbb{R},1-t^2\le {\mathrm{e}}^{-t^2}\le \frac{1}{1+t^2}\text{.}$$

2. (b)

   Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$ Établir l’existence des intégrales suivantes

   $$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t,I_n={\int }_0^1{(1-t^2)}^n\mathrm{d}t\text{ et }{J}_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{{(1+t^2)}^n}$$

   puis établir

   $$I_n\le \frac{I}{\sqrt{n}}\le J_n\text{.}$$

3. (c)

   On pose

   $$W_n={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x\text{.}$$

   Établir

   $$I_n=W_{2n+1}\text{ et }{J}_{n+1}=W_{2n}\text{.}$$

4. (d)

   Trouver une relation de récurrence entre $W_n$ et $W_{n+2}$.
   En déduire la constance de la suite de terme général

   $$u_n=(n+1)W_n{W}_{n+1}\text{.}$$

5. (e)

   Donner un équivalent de $W_n$ et en déduire la valeur de $I.$

On introduit l’application sur $[0;+\mathrm{\infty }[$

1. (a)

   Étudier les convergences de la suite de fonctions $(f_n).$

2. (b)

   Étudier les convergences de la série de fonctions $\sum f_n.$

Ensemble de définition et continuité de

En trouver la limite en $+\mathrm{\infty }$ et un équivalent en $0^{+}$.

Étudier la convergence simple et uniforme sur $\mathbb{R}$ de la suite de fonctions $(f_n)$ donnée par

1. (a)

   Montrer que la suite de fonctions $f_n(x)=x(1+n^{\alpha }{\mathrm{e}}^{-nx})$ définies sur ${\mathbb{R}}_{+}$ pour $\alpha \in \mathbb{R}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ converge simplement vers une fonction $f$ à déterminer.

2. (b)

   Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles il y a convergence uniforme.

3. (c)

   Calculer

   $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{1}x(1+\sqrt{n}{\mathrm{e}}^{-nx})\mathrm{d}x\text{.}$$

Étudier la suite de fonctions $(f_n)$ définie par

Définition, continuité et classe ${\mathcal{C}}^1$ de

Montrer que

est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^{*}$.

On note $E$ l’espace des suites réelles bornées $u={(u_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ telles que $u_0=0.$

1. (a)

   Montrer que

   $$N_{\mathrm{\infty }}(u)=\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}|u_n|\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}N(u)=\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}|u_{n+1}-u_n|$$

   définissent des normes sur l’espace $E.$

2. (b)

   Montrer que

   $$N(u)\le 2N_{\mathrm{\infty }}(u)\mathit{\hspace{1em}}\text{pour tout }u\in E\text{.}$$

   Déterminer une suite non nulle telle qu’il y ait égalité.

3. (c)

   Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.

On munit $E={\mathcal{M}}_p(\mathbb{C})$ de la norme

1. (a)

   Soient $X$ fixé dans ${\mathbb{C}}^p$ et $P$ fixé dans ${GL}_p(\mathbb{C})$; montrer que

   $$\varphi (M)=MX\text{ et }\psi (M)=P^{-1}MP$$

   définissent des applications continues.

2. (b)

   Montrer que

   $$f(M,N)=MN$$

   définit une application continue.

3. (c)

   Soit $A\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{C})$ telle que la suite $\left(\parallel A^n\parallel \right)$ soit bornée; montrer que les valeurs propres de $A$ sont de module inférieur à 1.

4. (d)

   Soit $B\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{C})$ telle que la suite $(B^n)$ tende vers une matrice $C.$ Montrer que $C^2=C$; que conclure à propos du spectre de $C$?
   Montrer que les valeurs propres de $B$ sont de module au plus égal à 1

Soit $u,v,w$ trois fonctions de classe ${\mathcal{C}}^2$ de $[a;b]$ vers $\mathbb{R}$ (avec $a<b$). On suppose

Montrer qu’il existe $c\in ]a;b[$ vérifiant

1. (a)

   Montrer que, pour tout $a\in ]0;1[,$ l’intégrale suivante converge:

   $${\int }_0^a\frac{x+\ln (1-x)}{x^2}\mathrm{d}x\text{.}$$

2. (b)

   Justifier que, pour tout $a\in ]0;1[,$

   $${\int }_0^a\frac{x+\ln (1-x)}{x^2}\mathrm{d}x=-\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a^n}{n(n+1)}\text{.}$$

3. (c)

   En déduire la convergence et la valeur de

   $${\int }_0^1\frac{x+\ln (1-x)}{x^2}\mathrm{d}x\text{.}$$

Soit $\sum a_n{x}^n$ une série entière de rayon de convergence $R=1.$
Pour $x\in ]-1;1[,$ on définit

On suppose que la suite $(a_n)$ est à termes réels positifs et que la fonction $S$ est bornée sur $[0;1[.$

1. (a)

   Montrer que $\sum a_n$ est une série convergente.

2. (b)

   Montrer que

   $$\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n\text{.}$$

1. (a)

   Quel est l’ensemble de définition de

   $$f(x)=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\text{?}\text{.}$$

2. (b)

   Montrer que $f$ est solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre avec pour condition initiale $f(0)=0.$

3. (c)

   Montrer que $f$ est développable en série entière et en donner le rayon de convergence.

Soit $(f_n)$ la suite des fonctions donnée par

1. (a)

   Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum f_n.$
   On note $S$ sa somme.

2. (b)

   Montrer que

   $$\forall x\in ]-1;1[,S(x)=\frac{1}{1+x}\left(\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^{n+1}\ln (1+\frac{1}{n})x^{n+1}\right)\text{.}$$

3. (c)

   En déduire que $S$ admet une limite en $1^{-}$ et que

   $$\underset{x\to 1^{-}}{lim}S(x)=\frac{1}{2}\left(\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^{n+1}\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)\text{.}$$

4. (d)

   Calculer la limite ci-dessus en utilisant la formule de Wallis

   $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1\times 3\times \mathrm{\cdots }\times (2n-1)}{2\times 4\times \mathrm{\cdots }\times (2n)}\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\text{.}$$

1. (a)

   Étudier la parité de

   $$f:x\mapsto {\mathrm{e}}^{x^2/2}{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t^2/2}\mathrm{d}t\text{.}$$

2. (b)

   Montrer que $f$ est solution d’une équation différentielle à déterminer.

3. (c)

   Justifier que $f$ est développable en série entière et donner ce développement.

1. (a)

   Étudier la convergence et préciser la limite éventuelle de $(a_n)$ définie par

   $$a_{n+1}=\ln (1+a_n)\text{ et }{a}_0>0\text{.}$$

2. (b)

   Rayon de convergence de $\sum a_n{x}^n$

3. (c)

   Étudier la convergence de $\left(\sum a_n{x}^n\right)$ sur le bord de l’intervalle de convergence
   (on pourra étudier la limite de $1/a_{n+1}-1/a_n$ et utiliser le théorème de Cesaro)

Développer $f(x)=ch(x)\cos (x)$ en série entière en l’exprimant à l’aide de fonctions exponentielles.
Retrouver le résultat en remarquant que $f$ est solution de l’équation différentielle $y^{(4)}+4y=0.$

Soient $k>0$ et

1. (a)

   Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}.$

2. (b)

   Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifie

   $$\forall x\in \mathbb{R},x{f}^{\prime }(x)+(k+1)f(x)=\sin x\text{.}$$

3. (c)

   Déterminer toutes les fonctions développables en série entière en 0 solutions de $x{y}^{\prime }+(k+1)y=\sin x$ en précisant le rayon de convergence.

On considère l’équation différentielle

1. (a)

   Montrer qu’il existe une unique solution $v$ de $(E)$ développable en série entière sur un voisinage de 0.

2. (b)

   Trouver l’ensemble des solutions de $(E)$ sur ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$ et en déduire une expression plus simple de $v.$

1. (a)

   Pour quel réel $x,$ l’intégrale suivante existe-t-elle

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{x+{\mathrm{e}}^t}\text{?}\text{.}$$

2. (b)

   Donner alors sa valeur.

3. (c)

   Montrer que

   $$f(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{x+{\mathrm{e}}^t}$$

   est développable en série entière et exprimer ce développement.

Soit $\alpha \in ]-1;1[.$

1. (a)

   Montrer, pour tout $x\in \mathbb{R},$ la convergence de la suite de terme général

   $$P_n(x)=\prod _{k=0}^n\left(1-{\alpha }^{k}x\right)$$

   vers une limite que l’on notera $P(x).$

2. (b)

   Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continue vérifiant l’équation fonctionnelle

   $$(E):\forall x\in \mathbb{R},f(x)=(1-x)f(\alpha x)\text{.}$$

   Montrer, pour tout $x\in \mathbb{R},$

   $$f(x)=f(0)P(x)\text{.}$$

3. (c)

   Montrer que la fonction $x\mapsto P(x)$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}.$

Soient $x\in \mathbb{R}$ et $\theta \in ]0;\pi /2[.$

1. (a)

   Calculer la partie imaginaire du complexe

   $$\frac{\sin (\theta ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}{1-x\sin (\theta ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\text{.}$$

2. (b)

   En déduire le développement en série entière de

   $$f(x)=\arctan \left(x-\frac{1}{\tan (\theta )}\right)\text{.}$$

1. (a)

   Quel est le domaine de définition de

   $$S(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a^n}{x+n}$$

   pour $a\in ]-1;1[$?

2. (b)

   Déterminer la limite et un équivalent de $S$ en $+\mathrm{\infty }.$

3. (c)

   Développer en série entière

   $$S(x)-\frac{1}{x}\text{.}$$

Calculer

(on pourra calculer $S_k(x)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^{3n+k}}{(3n+k)!}$ pour $k\in \{0,1,2\}$)

Montrer que

est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence. Calculer cette série entière.

Soient $\sum a_n{x}^n$ et $\sum b_n{x}^n$ deux séries entières de rayons de convergence $R$ et $R^{\prime }$.

1. (a)

   Déterminer le rayon de convergence et la somme de $\sum c_n{x}^n$ avec $c_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}.$

2. (b)

   Déterminer le rayon de convergence et la somme de

   $$\sum _{n\ge 1}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\cdots }+\frac{1}{n}\right)x^n\text{.}$$

Soit $a\in ]-1;1[.$ On pose

1. (a)

   Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}.$

2. (b)

   Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ et que pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{*}$ et tout $x\in \mathbb{R},$

   $$\left|f^{(k)}(x)\right|\le \frac{1}{1-\left|a\right|}\text{.}$$

3. (c)

   Montrer que $f$ est développable en série entière.

1. (a)

   Déterminer les rayons de convergence des séries entières

   $$\sum \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)x^n\text{ et }\sum \sin ({\mathrm{e}}^{-n})x^n\text{.}$$

2. (b)

   Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de convergence?

Trouver le rayon de convergence de

Calculer la somme dans le bon intervalle.

Calculer

pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$
Calculer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n{x}^n.$
Calculer la somme de cette série entière sur l’intervalle ouvert de convergence.

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n{x}^n$ où $(a_n)$ est la suite déterminée par

avec $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2.$

Soit une série entière $\sum a_n{z}^n$ de rayon de convergence non nul.

1. (a)

   Montrer qu’il existe un réel $r>0$ tel que $\left|a_n\right|\le 1/r^n$ à partir d’un certain rang.

2. (b)

   Quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum \frac{a_n}{n!}{z}^n$?

3. (c)

   On note $S_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k.$ Quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum \frac{S_n}{n!}{z}^n$?

On pose

1. (a)

   Calculer ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ pour tout $x\in ]-1;1[.$

2. (b)

   Montrer que pour tout $\theta \ne k\pi ,$ la série $\sum \frac{a_n}{n+1}$ converge et exprimer sa somme à l’aide d’une intégrale.

3. (c)

   Calculer cette intégrale pour $\theta \in ]0;\pi [.$

Montrer que $g:t\mapsto {\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n{t}^n}{2^{2n}{(n!)}^2}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}.$
En déduire que $h:t\mapsto g(t){\mathrm{e}}^{-t}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}.$
Montrer que ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}h(t)\mathrm{d}t$ existe et calculer son intégrale.

Soit $p\in {\mathbb{N}}^{*}.$ Pour tout $n\in \mathbb{N},$ on pose

1. (a)

   Montrer l’existence de l’intégrale définissant $S_n$.

2. (b)

   Pour $a,b\in {\mathbb{N}}^{*},$ on pose

   $$T(a,b)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^a{\mathrm{e}}^{-bt}\mathrm{d}t\text{.}$$

   Simplifier l’expression de $T(a,b).$

3. (c)

   Montrer que pour tout naturel $n$

   $$S_0=p!\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^{p+1}}+S_n\text{.}$$

4. (d)

   Montrer que la suite $(S_n)$ converge vers 0.

5. (e)

   Montrer

   $$S_0=p!\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{p+1}}\text{.}$$

Soit

1. (a)

   Justifier que $F$ est définie et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$.

2. (b)

   Calculer $F^{\prime }(x).$

3. (c)

   En déduire une expression simplifiée de $F(x)$ pour tout $x>0.$

1. (a)

   Justifier l’existence de

   $$I_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{{(1+x^3)}^n}\mathit{\hspace{1em}}\text{pour }n\in {\mathbb{N}}^{*}\text{.}$$

2. (b)

   Montrer que la suite ${(I_n)}_{n\ge 1}$ converge et trouver sa limite.

3. (c)

   Étudier la convergence de $\sum {(-1)}^{n-1}{I}_n$ et calculer son éventuelle somme.

Prouver l’égalité

Soient $a,b$ deux réels strictement positifs.

1. (a)

   Justifier l’existence pour tout $x\in \mathbb{R}$ de

   $$F(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-at}-{\mathrm{e}}^{-bt}}{t}\cos (xt)\mathrm{d}t\text{.}$$

2. (b)

   Justifier que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $F^{\prime }(x).$

3. (c)

   Exprimer $F(x)$

Établir

1. (a)

   Donner le domaine de définition de la fonction

   $$\mathrm{\Gamma }:x\mapsto {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\text{.}$$

2. (b)

   Calculer l’intégrale

   $$I_n(x)={\int }_0^n{t}^{x-1}{(1-\frac{t}{n})}^n\mathrm{d}t\text{.}$$

3. (c)

   Expliquer rapidement pourquoi ${\left(1-\frac{t}{n}\right)}^n$ converge vers ${\mathrm{e}}^{-t}$ et montrer que

   $$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^{x}n!}{x(x+1)\mathrm{\dots }(x+n)}\text{.}$$