- (a)
Montrer l’existence, pour d’un majorant de la valeur absolue de
- (b)
Montrer que est décroissante sur
- (c)
En remarquant de étudier la convergence de la série de terme général
- (d)
En utilisant étudier la convergence de
Montrer l’existence, pour d’un majorant de la valeur absolue de
Montrer que est décroissante sur
En remarquant de étudier la convergence de la série de terme général
En utilisant étudier la convergence de
Étudier la nature de la série de terme général
pour
Procéder à un développement asymptotique à deux termes.
Déterminer la limite de la suite définie par
Déterminer la limite de la suite définie par
Donner la nature de la série et celle de la série
c) Déterminer un équivalent puis un développement à deux termes de .
On pose
Déterminer une suite de fonctions telle que
Déterminer deux réels et tels que
Justifier que
où représente la partie entière de est définie sur .
Montrer que tend vers une limite quand tend vers
Montrer que
On note ; montrer que la série de terme général
converge et en déduire un équivalent de
Soit de classe sur telle que est intégrable sur et telle que l’intégrale soit convergente.
Montrer que
Étudier les séries
Exploiter la formule de Taylor avec reste intégrale, pour , pour ou encore pour primitive de
Calculer
en effectuant notamment le changement de variable
En déduire la valeur de
b) Exploiter le changement de variable
Soit définie sur par
où est continue, de carré intégrable sur .
Étudier le prolongement par continuité de en 0.
Exprimer en fonction de et de pour
Pour montrer que
puis montrer que
Étudier la nature de
désigne un réel strictement supérieur à En posant montrer
Donner en fonction de la nature de la série
Même question pour
Donner la nature de l’intégrale
c) Encadrer à l’aide de et
Étudier l’intégrabilité sur de
Montrer
On considère
Étudier l’intégrabilité de sur et
Calculer
b) La première intégrale s’obtient en intégrant par parties où l’on intègre en
Montrer que
En déduire
Soit Établir l’existence des intégrales suivantes
puis établir
On pose
Établir
Trouver une relation de récurrence entre et .
En déduire la constance de la suite de terme général
Donner un équivalent de et en déduire la valeur de
On introduit l’application sur
Étudier les convergences de la suite de fonctions
Étudier les convergences de la série de fonctions
Ensemble de définition et continuité de
En trouver la limite en et un équivalent en .
On peut s’aider d’une comparaison avec une intégrale pour déterminer un équivalent.
Étudier la convergence simple et uniforme sur de la suite de fonctions donnée par
Réduire l’étude de au segment
Montrer que la suite de fonctions définies sur pour et converge simplement vers une fonction à déterminer.
Déterminer les valeurs de pour lesquelles il y a convergence uniforme.
Calculer
Étudier la suite de fonctions définie par
Définition, continuité et classe de
Montrer que
est continue sur et de classe sur .
On note l’espace des suites réelles bornées telles que
Montrer que
définissent des normes sur l’espace
Montrer que
Déterminer une suite non nulle telle qu’il y ait égalité.
Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.
c) Considérer une suite dont les termes se succèdent avec des sauts de longueur au plus 1, mais pouvant prendre une valeur arbitrairement grande.
On munit de la norme
Soient fixé dans et fixé dans ; montrer que
définissent des applications continues.
Montrer que
définit une application continue.
Soit telle que la suite soit bornée; montrer que les valeurs propres de sont de module inférieur à 1.
Soit telle que la suite tende vers une matrice Montrer que ; que conclure à propos du spectre de ?
Montrer que les valeurs propres de sont de module au plus égal à 1
Soit trois fonctions de classe de vers (avec ). On suppose
Montrer qu’il existe vérifiant
Montrer que, pour tout l’intégrale suivante converge:
Justifier que, pour tout
En déduire la convergence et la valeur de
Soit une série entière de rayon de convergence
Pour on définit
On suppose que la suite est à termes réels positifs et que la fonction est bornée sur
Montrer que est une série convergente.
Montrer que
a) Borner les sommes partielles de la série
Quel est l’ensemble de définition de
Montrer que est solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre avec pour condition initiale
Montrer que est développable en série entière et en donner le rayon de convergence.
Soit la suite des fonctions donnée par
Déterminer le rayon de convergence de la série entière
On note sa somme.
Montrer que
En déduire que admet une limite en et que
Calculer la limite ci-dessus en utilisant la formule de Wallis
Étudier la parité de
Montrer que est solution d’une équation différentielle à déterminer.
Justifier que est développable en série entière et donner ce développement.
Étudier la convergence et préciser la limite éventuelle de définie par
Rayon de convergence de
Étudier la convergence de sur le bord de l’intervalle de convergence
(on pourra étudier la limite de et utiliser le théorème de Cesaro)
Développer en série entière en l’exprimant à l’aide de fonctions exponentielles.
Retrouver le résultat en remarquant que est solution de l’équation différentielle
Soient et
Montrer que est continue sur
Montrer que est dérivable sur et vérifie
Déterminer toutes les fonctions développables en série entière en 0 solutions de en précisant le rayon de convergence.
On considère l’équation différentielle
Montrer qu’il existe une unique solution de développable en série entière sur un voisinage de 0.
Trouver l’ensemble des solutions de sur et en déduire une expression plus simple de
Pour quel réel l’intégrale suivante existe-t-elle
Donner alors sa valeur.
Montrer que
est développable en série entière et exprimer ce développement.
Soit
Montrer, pour tout la convergence de la suite de terme général
vers une limite que l’on notera
Soit continue vérifiant l’équation fonctionnelle
Montrer, pour tout
Montrer que la fonction est développable en série entière sur
a) Passer au logarithme les facteurs de au délà du rang où ceux-ci sont strictement positifs.
b) Itérer la relation fonctionnelle pour exprimer en fonction de
c) Rechercher les fonctions développables en série entières solutions de
Soit et
Calculer la partie imaginaire du complexe
En déduire le développement en série entière de
Quel est le domaine de définition de
pour ?
Déterminer la limite et un équivalent de en
Développer en série entière
Calculer
(on pourra calculer pour )
Montrer que
est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence. Calculer cette série entière.
Soient et deux séries entières de rayons de convergence et .
Déterminer le rayon de convergence et la somme de avec
Déterminer le rayon de convergence et la somme de
Soit On pose
Montrer que est définie sur
Montrer que est de classe et que pour tout et tout
Montrer que est développable en série entière.
Déterminer les rayons de convergence des séries entières
Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de convergence?
Trouver le rayon de convergence de
Calculer la somme dans le bon intervalle.
Calculer
pour
Calculer le rayon de convergence de la série entière
Calculer la somme de cette série entière sur l’intervalle ouvert de convergence.
Déterminer le rayon de convergence de la série entière où est la suite déterminée par
avec
Soit une série entière de rayon de convergence non nul.
Montrer qu’il existe un réel tel que à partir d’un certain rang.
Quel est le rayon de convergence de la série entière ?
On note Quel est le rayon de convergence de la série entière ?
b) Observer que la série numérique converge pour pour
On pose
Calculer pour tout
Montrer que pour tout la série converge et exprimer sa somme à l’aide d’une intégrale.
Calculer cette intégrale pour
a) Passer par les nombres complexes.
b) Transiter par les sommes partielles en exploitant
Montrer que est de classe sur
En déduire que est de classe sur
Montrer que existe et calculer son intégrale.
Soit Pour tout on pose
Montrer l’existence de l’intégrale définissant .
Pour on pose
Simplifier l’expression de
Montrer que pour tout naturel
Montrer que la suite converge vers 0.
Montrer
Soit
Justifier que est définie et de classe sur et calculer
En déduire une expression simplifiée de pour tout
Justifier l’existence de
Montrer que la suite converge et trouver sa limite.
Étudier la convergence de et calculer son éventuelle somme.
Prouver l’égalité
Soit deux réels strictement positifs.
Justifier l’existence pour tout de
Justifier que est de classe sur et calculer
Exprimer
c) On pourra déterminer la constante d’intégration en étudiant la limite de en l’infini via une intégration par parties.
Établir
Donner le domaine de définition de la fonction
Calculer l’intégrale
Expliquer rapidement pourquoi converge vers et montrer que
b) Intégrer par parties.
c) Appliquer le théorème de convergence dominée à une suite de fonctions dont les intégrales sur correspondent à
Étudier la limite éventuelle, quand tend vers de la suite
Montrer que la fonction donnée par
est intégrable sur .
Montrer que la suite de terme général converge vers une limite à préciser.
Soit une application réelle de classe sur avec et Soit la suite de fonctions telle que
Déterminer la limite simple de
Établir l’égalité suivante:
Montrer que
Vérifier que la suite de terme général
est bien définie et étudier sa convergence.
Pour et on pose
Soit une fonction continue sur et nulle en dehors d’un segment
Montrer que
Pour on pose
Montrer que est de classe sur
Calculer et en déduire l’expression de
Soit Calculer
Soit la fonction définie par:
Montrer que est définie et de classe sur .
On admet l’identité
valable pour tout et dans
Déterminer l’expression de
Soit
Ensemble de définition de
Montrer que si diverge.
Calculer pour
Soient et 2 entiers naturels, non nul. Soit
Montrer que est intégrable sur Soit
Exprimer en fonction de .
Exprimer en fonction de
On pose Montrer
Donner les limites éventuelles en des suites de termes généraux
Quelles sont les natures des séries
a) Par convergence dominée.
b) L’hypothétique convergence de permet l’application d’un théorème d’intégration terme à terme entrainant une absurdité.
Pour soit l’application définie par
Pour quelle valeurs de la fonction est-elle continue?
Dans la suite, on prendra cette valeur de
Montrer que est bornée.
Montrer que existe pour
Exprimer comme la somme d’une série.
Quelles sont les fonctions continues telles que
Soit continue vérifiant l’équation
Montrer que est de classe .
Trouver toutes les fonctions solution de l’équation étudiée.
Résoudre sur
En indiquant les hypothèses nécessaires, effectuer le changement de variable dans l’équation différentielle
tel qu’elle devienne une équation à coefficients constants et la résoudre.
On veut résoudre
Si est l’opérateur de dérivation et on a
Montrer l’existence d’un polynôme de la forme tel que devienne
Résoudre l’équation à l’aide du changement de variable
Montrer qu’il existe une solution de l’équation
développable en série entière et vérifiant
Montrer que s’annule sur
Montrer que ne s’annule qu’une seule fois sur
Soit telle que
Exprimer en fonction de , et .
Calculer
On pose
et le champ de vecteurs
Représenter les courbes paramétrées par et .
Le champ de vecteurs dérive-t-il d’un potentiel ?
Calculer la circulation de selon et . Conclure.
Étudier les branches infinies, les variations, la convexité et représenter
Résoudre
Trouver les extremums globaux et locaux de