Établir que la limite simple d’une suite de fonctions de $I$ vers $\mathbb{R}$ convexes est convexe.

Soient $(f_n)$ une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction $f$ et $g$ une fonction uniformément continue.
Montrer que la suite de fonctions $(g\circ f_n)$ converge uniformément.

Soient $(f_n)$ et $(g_n)$ deux suites de fonctions convergeant uniformément vers des fonctions $f$ et $g$ supposées bornées.
Montrer que la suite de fonctions $(f_n{g}_n)$ converge uniformément vers $fg.$

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions réelles continues et définies sur $[a;b].$ On suppose que $f_n$ converge uniformément vers une fonction $f.$
Montrer

On suppose qu’une suite de fonctions $(f_n)$ de $[a;b]$ vers $\mathbb{R}$ converge uniformément vers $f:[a;b]\to \mathbb{R}$ continue et on considère une suite $(x_n)$ d’éléments de $[a;b]$ convergeant vers $x.$ Montrer

Soit $(P_n)$ une suite de fonctions polynômes de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}.$ On suppose que cette suite converge uniformément vers une fonction $f$ sur $\mathbb{R}.$ Montrer que la fonction $f$ est polynomiale.