Soient $a,b\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $a\circ b=b\circ a.$
En considérant pour $x_0\in E,$ l’application $t\mapsto (\exp (ta)\circ \exp (tb))x_0,$ établir

Soit $A\in {\mathcal{M}}_{2n}(\mathbb{R})$ une matrice vérifiant

Exprimer la solution générale de l’équation matricielle

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ une matrice dont aucune valeur propre n’est élément de $2\mathrm{i}\pi \mathbb{Z}.$

1. (a)

   Montrer que ${\mathrm{e}}^A-{\mathrm{I}}_n$ est inversible.

Soit $B:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{C})$ une fonction continue et 1-périodique.

1. (b)

   Montrer que l’équation

   $$(E):X^{\prime }=AX+B(t)$$

   d’inconnue $X:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{C})$ possède une unique solution 1-périodique.

1. (a)

   Soit $N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ nilpotente d’indice $p.$ Montrer que $(I_n,N,N^2,\mathrm{\dots },N^{p-1})$ est une famille libre.
   Exprimer

   $${\mathrm{e}}^{t(\lambda I_n+N)}\text{.}$$

2. (b)

   Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ ayant pour unique valeur propre $\lambda \in \mathbb{C}.$ Montrer que $N=A-\lambda I_n$ est nilpotente.
   Montrer que les solutions du système différentiel $X^{\prime }=AX$ sont toutes bornées sur $\mathbb{R}$ si, et seulement si, $\lambda$ est imaginaire pur et $A=\lambda I_n.$

3. (c)

   Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ de polynôme caractéristique

   $${(X-{\lambda }_1)}^{n_1}\mathrm{\dots }{(X-{\lambda }_m)}^{n_m}$$

   les ${\lambda }_k$ étant deux à deux distincts. Soit $f$ l’endomorphisme de ${\mathbb{C}}^n$ canoniquement associé à $A.$ Montrer que

   $${\mathbb{C}}^n=\underset{k=1}{\overset{m}{\oplus }}Ker{(f-{\lambda }_k{\mathrm{Id}}_{{\mathbb{C}}^n})}^{n_k}\text{.}$$

   En déduire l’existence d’une base de ${\mathbb{C}}^n$ dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale par blocs.

4. (d)

   Avec les notations de c). Montrer que les solutions de $X^{\prime }=AX$ sont bornées si, et seulement si, les ${\lambda }_k$ sont imaginaires purs et que $A$ est diagonalisable.

5. (e)

   Montrer qu’une matrice antisymétrique réelle est diagonalisable.