Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continue vérifiant

Déterminer $f.$

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que

1. (a)

   Montrer que $\mathcal{D}=\{p/2^n|p\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}\}$ est dense dans $\mathbb{R}.$

2. (b)

   Montrer que si $f$ s’annule en $0$ et en $1$ alors $f=0.$

3. (c)

   Conclure que $f$ est une fonction affine.

Montrer que pour tout $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C}),$ ${\chi }_{AB}={\chi }_{BA}.$

Soit $n\ge 2.$ Calculer $det\left(Com(A)\right)$ pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C}).$

Soit $n\in \mathbb{N}$ avec $n\ge 2.$

1. (a)

   Soient $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ et $P\in {GL}_n(\mathbb{C}).$
   Exprimer la comatrice de $P^{-1}AP$ en fonction de $P,$ $P^{-1}$ et de la comatrice de $A.$

2. (b)

   En déduire que les comatrices de deux matrices semblables sont elle-même semblables.

Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}),$ on note $\tilde{A}$ la transposée de la comatrice de $A.$

1. (a)

   Calculer $det\tilde{A}.$

2. (b)

   Étudier le rang de $\tilde{A}$.

3. (c)

   Montrer que si $A$ et $B$ sont semblables alors $\tilde{A}$ et $\tilde{B}$ le sont aussi.

4. (d)

   Calculer $\widetilde{\stackrel{~}{A}}$.

Montrer

Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_{n+1}-u_n\to 0$ et $u_n\to +\mathrm{\infty }.$ Soit $(v_p)$ une suite réelle telle que $v_p\to +\mathrm{\infty }.$

1. (a)

   On fixe deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b.$ Pour $p$ et $q$ dans $\mathbb{N},$ on pose $(w_n)=(u_{n+p}-v_q).$ Montrer que l’on peut choisir $p$ et $q$ de telle sorte que l’on ait $w_0\le a$ et, pour $n\in \mathbb{N},$ $\left|w_{n+1}-w_n\right|\le (b-a)/2.$

2. (b)

   Montrer que $\{u_n-v_p|(n,p)\in {\mathbb{N}}^2\}$ est dense dans $\mathbb{R}.$

3. (c)

   Déterminer l’adhérence de $\{\sin (u_n)|n\in \mathbb{N}\}.$

4. (d)

   Déterminer l’adhérence de $\{u_n-\lfloor u_n\rfloor |n\in \mathbb{N}\}.$

5. (e)

   Quel est l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite $(u_n-\lfloor u_n\rfloor )$?