Soit $X$ une variable aléatoire binomiale de taille $n$ et de paramètre $p\in ]0;1[.$
Calculer l’espérance de la variable

Un fumeur a un paquet de $N$ cigarettes dans chacune de ses deux poches. Chaque fois qu’il veut fumer, il choisit une poche au hasard pour prendre une cigarette. Il répète cela jusqu’à ce qu’il tombe sur un paquet vide. Soit $X_N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de cigarettes restant dans l’autre paquet à ce moment-là.

1. (a)

   Écrire une fonction Python qui simule l’expérience et retourne $X_N$. Faire la moyenne pour $\mathrm{1\hspace{0.17em}000}$ tests.

2. (b)

   Proposer un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{T},\mathrm{P})$ qui modélise l’expérience.

3. (c)

   Exprimer la loi de $X_N$.

4. (d)

   Montrer que, pour $k\in ⟦1;N⟧$

   $$(2N-k-1)P(X_N=k+1)=2(N-k)\mathrm{P}(X_N=k)\text{.}$$

5. (e)

   Calculer l’espérance de $X_N$ puis donner un équivalent de $\mathrm{E}(X_N).$

Soit $X_1,\mathrm{\dots },X_n$ des variables aléatoires réelles définies sur une espace probabilisé fini $(\mathrm{\Omega },\mathrm{P})$ et $N$ une variable aléatoire définie sur le même espace et à valeurs dans $⟦1;n⟧.$ On suppose que les variables $X_1,\mathrm{\dots },X_n$ suivent chacune la loi d’une variable $X$ et que $X_1,\mathrm{\dots },X_n$ et $N$ sont mutuellement indépendantes. Enfin, on définit une variable $Y$ sur $\mathrm{\Omega }$ en posant

Exprimer l’espérance puis la variance de la variable $Y$ en fonction des espérances et variances de $X$ et $N.$