Soient $p$ et $q$ deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.
Montrer

Justifier les divisibilités suivantes:

1. (a)

   $\forall n\in \mathbb{N},$ $X^2\mid {(X+1)}^n-nX-1$

2. (b)

   $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*},$ ${(X-1)}^3\mid n{X}^{n+2}-(n+2).X^{n+1}+(n+2)X-n$

Justifier

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $n\in \mathbb{N}$ pour que

Déterminer les $P$ de $\mathbb{R}[X]$ tels que

Trouver les $P\in \mathbb{C}[X]$ tels que

1. (a)

   Soient $P,Q,R\in \mathbb{C}[X]$ premiers entre eux deux à deux, non constants, et tels que

   $$P+Q+R=0\text{.}$$

   Soient $p,q,r$ le nombre de racines distinctes des polynômes $P,Q,R$ respectivement.
   Prouver que le degré de $P$ est strictement inférieur à $p+q+r.$
   On pourra introduire $P^{\mathrm{\prime }}\mathit{}Q\mathrm{-}{Q}^{\mathrm{\prime }}\mathit{}P.$

2. (b)

   Trouver tous les triplets de polynômes complexes $(P,Q,R)$ tels que

   $$P^n+Q^n=R^n$$

   pour $n\ge 3$ donné.

3. (c)

   Le résultat s’étend-il à $n=2$?

Soit $P\in \mathbb{Z}[X]$ et $a,b$ deux entiers relatifs avec $b>0$ et $\sqrt{b}$ irrationnel.

1. (a)

   Exemple: montrer que $\sqrt{6}$ est irrationnel.

2. (b)

   Quelle est la forme de ${(a+\sqrt{b})}^n$?

3. (c)

   Montrer que si $a+\sqrt{b}$ est racine de $P$ alors $a-\sqrt{b}$ aussi.

4. (d)

   On suppose que $a+\sqrt{b}$ est racine double de $P.$ Montrer que $P=R{Q}^2$ avec $R$ et $Q$ dans $\mathbb{Z}[X].$