Soit
Calculer .
Selon que ou dire si la matrice est, ou non, diagonalisable.
Soit
Calculer .
Selon que ou dire si la matrice est, ou non, diagonalisable.
Soient et définie par blocs
Calculer .
La matrice est-elle diagonalisable? Déterminer les valeurs propres de et les dimensions de ses espaces propres?
Montrer qu’une matrice de permutation est diagonalisable.
Soit telle que
Montrer
Montrer que la matrice est diagonalisable.
a) Caractériser l’inversibilité de en étudiant les colonnes vérifiant
b) Déterminer un polynôme annulateur de
Soit vérifiant Montrer que cette matrice est diagonalisable.
Soient un entier supérieur ou égal à 2 et une matrice carrée de taille telle que
Quelles sont les valeurs propres de ? Est-elle symétrique? Est-elle diagonalisable?
Soit telle que et qu’il existe pour lequel
Montrer que est diagonalisable dans
On note et les deux valeurs propres de
Montrer que que et
Montrer que
Montrer que l’ensemble est un groupe monogène fini pour le produit matriciel.
Soit
avec
Montrer que
Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour que soit diagonalisable.
Déterminer les couples tels que
est diagonalisable.
Trouver les matrices vérifiant et
Déterminer les valeurs propres de à l’aide d’une trigonalisation puis établir que la matrice est en fait diagonalisable.
Soit et telles que
Montrer que est inversible et exprimer .
On pourra calculer
Montrer que et sont des projecteurs.
La matrice est-elle diagonalisable? Déterminer son spectre.
a) Déterminer en fonction de de sorte que
b) Commencer par observer en factorisant un polynôme annulateur de
Soit tel que
Les matrices et sont-elles diagonalisables?
Commencer par observer que est diagonalisable par annulation polynomiale.
Montrer que, pour avec on a l’égalité
si, et seulement si, il existe réels positifs tels que
Déterminer toutes les matrices de telles que et
b) Étudier les valeurs propres d’une diagonalisation de
Soient
et canoniquement associé à
En procédant à un calcul par bloc, déterminer tel que
En déduire que est diagonalisable dans
Déterminer un vecteur tel que et forme une base de .
Quelle est la matrice de dans cette base?
Trouver les valeurs propres des matrices vérifiant
Déterminer alors les matrices solutions à l’aide de polynômes annulateurs appropriés.