Soit

Calculer $A^2$.
Selon que $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ dire si la matrice $A$ est, ou non, diagonalisable.

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ et $A\in {\mathcal{M}}_{2n}(\mathbb{C})$ définie par blocs

1. (a)

   Calculer $A^2$.

2. (b)

   La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Déterminer les valeurs propres de $A$ et les dimensions de ses espaces propres?

Montrer qu’une matrice de permutation est diagonalisable.

Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ telle que

1. (a)

   Montrer

   $$M\text{ inversible si, et seulement si, }1\notin SpM\text{.}$$

2. (b)

   Montrer que la matrice $M$ est diagonalisable.

Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $M^2+{}^{t}M=2{\mathrm{I}}_n.$ Montrer que cette matrice $M$ est diagonalisable.

Soient $n$ un entier supérieur ou égal à 2 et $M$ une matrice carrée de taille $n$ telle que $M^2+{}^{t}M={\mathrm{I}}_n$
Quelles sont les valeurs propres de $M$? Est-elle symétrique? Est-elle diagonalisable?

Soit $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{Z})$ telle que $detA=1$ et qu’il existe $p\in {\mathbb{N}}^{*}$ pour lequel

1. (a)

   Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}.$

On note $\alpha$ et $\beta$ les deux valeurs propres de $A.$

1. (b)

   Montrer que $|\alpha |=|\beta |=1,$ que $\beta =\overline{\alpha }$ et

   $$\left|Re(\alpha )\right|\in \{0,1/2,1\}\text{.}$$

2. (c)

   Montrer que $A^{12}={\mathrm{I}}_2$

3. (d)

   Montrer que l’ensemble $G=\{A^n|n\in \mathbb{N}\}$ est un groupe monogène fini pour le produit matriciel.

Soit

avec $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}).$

1. (a)

   Montrer que

   $$P(M)=\left(\begin{array}{cc}\hfill P(A)\hfill & \hfill A{P}^{\prime }(A)\hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill P(A)\hfill \end{array}\right)\mathit{\hspace{1em}}\text{pour tout }P\in \mathbb{R}[X]\text{.}$$

2. (b)

   Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit diagonalisable.

Déterminer les couples $(A,B)\in {\mathcal{M}}_n{(\mathbb{R})}^2$ tels que

est diagonalisable.

Trouver les matrices $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ vérifiant $M^5=M^2$ et $tr(M)=n.$

Soient $\lambda ,\mu \in {\mathbb{C}}^{*},$ $\lambda \ne \mu$ et $A,B,M\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{C})$ telles que

1. (a)

   Montrer que $M$ est inversible et exprimer $M^{-1}$.
   On pourra calculer $M^2-(\lambda +\mu )M+\lambda \mu I_p$

2. (b)

   Montrer que $A$ et $B$ sont des projecteurs.

3. (c)

   La matrice $M$ est-elle diagonalisable? Déterminer son spectre.

Soit $(A,B,C)\in {\mathcal{M}}_n{(\mathbb{R})}^3$ tel que

Les matrices $A$ et $B$ sont-elles diagonalisables?

1. (a)

   Montrer que, pour $z_1,\mathrm{\dots },z_n\in \mathbb{C}$ avec $z_1\ne 0,$ on a l’égalité

   $$\left|\sum _{k=1}^n{z}_k\right|=\sum _{k=1}^n\left|z_k\right|$$

   si, et seulement si, il existe $n-1$ réels positifs ${\alpha }_2,\mathrm{\dots },{\alpha }_n$ tels que

   $$\forall k\ge 2,z_k={\alpha }_k{z}_1\text{.}$$

2. (b)

   Déterminer toutes les matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ telles que $M^n=I_n$ et $trM=n$

Soient

et $m\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^5)$ canoniquement associé à $M.$

1. (a)

   En procédant à un calcul par bloc, déterminer $p\in {\mathbb{N}}^{*}$ tel que $M^p=I_5.$
   En déduire que $M$ est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_5(\mathbb{C}).$

2. (b)

   Déterminer un vecteur $x\in {\mathbb{R}}^5$ tel que $x,m(x),m^2(x),m^3(x)$ et $m^4(x)$ forme une base de ${\mathbb{R}}^5$.
   Quelle est la matrice de $m$ dans cette base?

1. (a)

   Trouver les valeurs propres des matrices $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ vérifiant

   $$M^2+M=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

2. (b)

   Déterminer alors les matrices $M$ solutions à l’aide de polynômes annulateurs appropriés.