Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ telle que $rgA=1.$
Établir

Soient $X,Y\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ non nuls.
À quelle condition la matrice $X{}^{t}Y$ est-elle diagonalisable?

Soient $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\mathbb{C}$ et

Montrer que $J$ est diagonalisable.

Soit $(a_1,\mathrm{\dots },a_n)\in {\mathbb{C}}^n.$ La matrice ${(a_i{a}_j)}_{1\le i,j\le n}$ est-elle diagonalisable?

Parmi les matrices élémentaires $E_{i,j}$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}),$ lesquelles sont diagonalisables?

Soient $(a_1,\mathrm{\dots },a_n)\in {({\mathbb{R}}_{+}^{*})}^n$ et

• (a)

  Calculer $N^2$, la matrice $N$ est-elle diagonalisable?

• (b)

  Montrer que $M=2N+{\mathrm{I}}_n$ est inversible et exprimer $M^{-1}$.