Diagonalisabilité des matrices de rang 1

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Exercice 793

(2.4)

Soit $A \in M_{n} (C)$ telle que $rg A = 1 .$
Établir

A diagonalisable si, et seulement si, tr A \neq 0 .

Exercice 794

(2.5)

Soient $X, Y \in M_{n, 1} (K)$ non nuls.
À quelle condition la matrice $X {}^{t}Y$ est-elle diagonalisable?

Exercice 2391 CENTRALE MP

(1.5)

Soient $K$ un sous-corps de $C$ et

J = (\begin{matrix} 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & \dots & 1 \end{matrix}) \in M_{n} (K) .

Montrer que $J$ est diagonalisable.

Exercice 2702 MINES MP

(2.8)

Soit $(a_{1}, \dots, a_{n}) \in C^{n} .$ La matrice ${(a_{i} a_{j})}_{1 \leq i, j \leq n}$ est-elle diagonalisable?

Exercice 791

(1)

Parmi les matrices élémentaires $E_{i, j}$ de $M_{n} (K),$ lesquelles sont diagonalisables?

Exercice 2595 CCP PSI

(2.7)

Soient $(a_{1}, \dots, a_{n}) \in {(R_{+}^{*})}^{n}$ et

N = (\begin{matrix} a_{1} & a_{1} & \dots & a_{1} \\ a_{2} & a_{2} & \dots & a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} & a_{n} & \dots & a_{n} \end{matrix}) .

Calculer $N^{2}$ , la matrice $N$ est-elle diagonalisable?
Montrer que $M = 2 N + I_{n}$ est inversible et calculer $M^{- 1}$ .