Soient $\alpha \in \mathbb{R}$ et

1. (a)

   On suppose $\mathbb{K}=\mathbb{C}.$ La matrice $A$ est-elle diagonalisable?

2. (b)

   On suppose $\mathbb{K}=\mathbb{R}.$ La matrice $A$ est-elle diagonalisable?

3. (c)

   Mêmes questions avec $B.$

Soient $a,b\in {\mathbb{R}}^{*}$ tels que $\left|a\right|\ne \left|b\right|$ et

1. (a)

   Calculer le rang de $A.$ En déduire que 0 est valeur propre de $A$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

2. (b)

   Déterminer deux vecteurs propres non colinéaires et en déduire que $A$ est diagonalisable.

Monter que la matrice suivante est diagonalisable

On pourra interpréter $A$ comme la matrice d’un endomorphisme de ${\mathrm{C}}_n\mathit{}\mathrm{[}X\mathrm{]}.$

Considérons la matrice $A$ suivante:

1. (a)

   On suppose $k$ réel, la matrice $A$ est-elle diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$? (sans calculs);

2. (b)

   Déterminer le rang de $A.$

3. (c)

   Donner la raison pour laquelle le polynôme caractéristique de $A$ est de la forme

   $$X^2(X-u_1)(X-u_2)$$

   avec $u_1$, $u_2$ appartenant à ${\mathbb{C}}^{*}$ et vérifiant

   $$u_1+u_2=k\text{ et }{u}_1^2+u_2^2=k^2+6\text{.}$$

4. (d)

   Étudier les éléments propres dans le cas où $u_1=u_2.$

5. (e)

   En déduire les valeurs de $k$ pour que $A$ soit diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{C}).$

Pour quelle(s) valeurs de $x\in \mathbb{R},$ la matrice suivante n’est-elle pas diagonalisable?

Soient $a,b,c,d$ quatre nombres complexes avec $a^2+b^2\ne 0$ et

1. (a)

   Calculer $A{}^{t}A,$ $detA$ et montrer que $rg(A)=2$ ou $4$.

2. (b)

   On pose ${\alpha }^2=b^2+c^2+d^2$ supposé non nul. Montrer que $A$ est diagonalisable.

Soit $(a_1,\mathrm{\dots },a_{n-1})\in {\mathbb{C}}^{n-1}.$

1. (a)

   Quel est le rang de $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ définie par

   $$A=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill a_1\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill a_{n-1}\hfill \\ \hfill a_1\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill a_{n-1}\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\text{?}\text{.}$$

2. (b)

   Avec la trace, que peut-on dire des valeurs propres?

3. (c)

   $A$ est-elle diagonalisable?

Soient $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et $B=\left(\begin{array}{cc}\hfill O\hfill & \hfill I_n\hfill \\ \hfill A\hfill & \hfill O\hfill \end{array}\right).$

1. (a)

   Étudier les valeurs propres de $B$ en fonction de celles de $A.$

2. (b)

   On suppose $A$ diagonalisable. $B$ est-elle diagonalisable?

Soient $A_1\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{K}),$ $A_2\in {\mathcal{M}}_q(\mathbb{K})$ et $A\in {\mathcal{M}}_{p+q}(\mathbb{K})$ définie par

Montrer que $A$ est diagonalisable si, et seulement si, $A_1$ et $A_2$ le sont.