Calcul de polynômes caractéristiques

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Exercice 782

(2.9)

Calculer le polynôme caractéristique de la matrice

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ \\ 0 & \dots & 0 & 1 \\ a_{0} & a_{1} & \dots & a_{n - 1} \end{matrix}) .

Exercice 784

(2.5)

Soient

A_{n} = (\begin{matrix} 0 & 1 & (0) \\ 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & 1 \\ (0) & 1 & 0 \end{matrix}) \in M_{n} (C) et P_{n} (x) = det (x I_{n} - A_{n}) .

(a)

Montrer

$P_{n} (x) = x P_{n - 1} (x) - P_{n - 2} (x) .$

Calculer $P_{1} (x)$ et $P_{2} (x) .$
(b)

Pour tout $x \in] - 2; 2 [,$ on pose $x = 2 \cos (α)$ avec $α \in] 0; π [.$ Montrer que

$P_{n} (x) = \frac{\sin ((n + 1) α)}{\sin (α)} .$
(c)

En déduire que $P_{n} (x)$ admet $n$ racines puis que $A_{n}$ est diagonalisable.

Exercice 2493 CCP MP

(3.7)

Soient $a_{1}, \dots, a_{n} \in C^{*},$ tous distincts et $P (x) = det (A + x I_{n})$ avec

A = (\begin{matrix} 0 & a_{2} & \dots & a_{n} \\ a_{1} & 0 & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & a_{n} \\ a_{1} & \dots & a_{n - 1} & 0 \end{matrix}) .

(a)

Calculer $P (a_{i})$ et décomposer en éléments simples la fraction

$\frac{P (x)}{\prod_{i = 1}^{n} (x - a_{i})} .$
(b)

En déduire $det A .$

Exercice 785

(3)

Soient $a_{1}, \dots, a_{n} \in C^{*}$ deux à deux distincts.
On pose

P (x) = det (A + x I_{n}) avec A = (\begin{matrix} 0 & a_{2} & \dots & a_{n} \\ a_{1} & 0 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & a_{n} \\ a_{1} & \dots & a_{n - 1} & 0 \end{matrix}) .

(a)

Calculer $P (a_{i}) .$
(b)

Justifier que $P$ est un polynôme unitaire de degré $n .$
(c)

Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle

$\frac{P (X)}{\prod_{i = 1}^{n} (X - a_{i})} .$
(d)

En déduire le déterminant de $A + I_{n} .$