Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d’un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n\ge 1$ tels que

1. (a)

   Montrer que $f$ est nilpotent.

2. (b)

   On suppose $f^{n-1}\ne 0.$ Montrer qu’il existe une base $e$ de $E$ et $\lambda \in \mathbb{C}$ tels que:

   $${Mat}_{e}f=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)$$

   et

   $${Mat}_{e}g=diag(\lambda ,\lambda +1,\mathrm{\dots },\lambda +n-1)\text{.}$$

Soient $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie non nulle, $u,v$ dans $\mathcal{L}(E)$ et $a,b$ dans $\mathbb{C}.$ On suppose

1. (a)

   On étudie le cas $a=b=0.$
   Montrer que $u$ et $v$ ont un vecteur propre en commun.

2. (b)

   On étudie le cas $a\ne 0,$ $b=0.$
   Montrer que $u$ est non inversible.
   Calculer $u^n\circ v-v\circ u^n$ et montrer que $u$ est nilpotent.
   Conclure que $u$ et $v$ ont un vecteur propre en commun.

3. (c)

   On étudie le cas $a,b\ne 0.$
   Montrer que $u$ et $v$ ont un vecteur propre en commun.

Soient $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie non nulle, $(a,b)\in {\mathbb{C}}^2,$ $f$ et $g$ dans $\mathcal{L}(E)$ tels que

Montrer que $f$ et $g$ ont un vecteur propre commun.

Soit $E$ un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soient $u$ et $v$ des endomorphismes de $E$; on pose $[u;v]=uv-vu.$

1. (a)

   On suppose $[u;v]=0.$ Montrer que $u$ et $v$ sont cotrigonalisables.

2. (b)

   On suppose $[u;v]=\lambda u$ avec $\lambda \in {\mathbb{C}}^{*}.$ Montrer que $u$ est nilpotent et que $u$ et $v$ sont cotrigonalisables.

3. (c)

   On suppose l’existence de complexes $\alpha$ et $\beta$ tels que $[u;v]=\alpha u+\beta v.$ Montrer que $u$ et $v$ sont cotrigonalisables.

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d’un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ tels que $f\circ g-g\circ f=I.$

1. (a)

   Montrer que, pour tout entier $n\ge 1,$ on a $f^n\circ g-g\circ f^n=n{f}^{n-1}.$

2. (b)

   En dimension finie non nulle, montrer qu’il n’existe pas deux endomorphismes $f$ et $g$ tels que $f\circ g-g\circ f=I.$

3. (c)

   Montrer que dans $E=\mathbb{K}[X]$ les endomorphismes $f$ et $g$ définis par $f(P)=P^{\prime }$ et $g(P)=XP$ conviennent.

Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$ vérifiant

1. (a)

   Calculer

   $$f^n\circ g-g\circ f^n\text{.}$$

2. (b)

   Soit $P$ un polynôme. Montrer que si $P(f)=0$ alors $f\circ P^{\prime }(f)=0.$

3. (c)

   En déduire que $f$ est un endomorphisme nilpotent.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C}).$ On considère l’endomorphisme $T$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ défini par

1. (a)

   On suppose que la matrice $A$ est nilpotente.
   Montrer que l’endomorphisme $T$ est aussi nilpotent.

2. (b)

   Réciproque?

Soient $A,B,C\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ vérifiant

On suppose en outre que $C$ commute avec les matrices $A$ et $B.$

1. (a)

   On suppose que $A$ et diagonalisable. Montrer que la matrice $C$ est nulle.

2. (b)

   On suppose que la matrice $C$ est diagonalisable. Montrer à nouveau que la matrice $C$ est nulle.

On fixe $A\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$ et on considère $\mathrm{\Delta }:M\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})\mapsto AM-MA.$

1. (a)

   Prouver que $\mathrm{\Delta }$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$ et que:

   $$\forall n\in {\mathbb{N}}^{*},\forall (M,N)\in {\mathcal{M}}_p{(\mathbb{R})}^2,{\mathrm{\Delta }}^n(MN)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right){\mathrm{\Delta }}^k(M){\mathrm{\Delta }}^{n-k}(N)\text{.}$$

2. (b)

   On suppose que $B=\mathrm{\Delta }(H)$ commute avec $A.$ Montrer:

   $${\mathrm{\Delta }}^2(H)=0\text{ et }{\mathrm{\Delta }}^{n+1}(H^n)=0\text{.}$$

   Vérifier ${\mathrm{\Delta }}^n(H^n)=n!B^n.$

3. (c)

   Soit $\parallel \cdot \parallel$ une norme sur ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{R}).$ Montrer que ${\parallel B^n\parallel }^{1/n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$

4. (d)

   En déduire que la matrice $B$ est nilpotente.

Soient $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie non nulle, $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E.$

1. (a)

   On suppose dans cette question et dans la suivante que $u\circ v-v\circ u=u.$
   Montrer que $Ker(u)$ est stable par $v.$

2. (b)

   Montrer que $Ker(u)\ne \left\{0\right\}.$
   Indice: On pourra raisonner par l’absurde et utiliser la trace.
   En déduire que $u$ et $v$ ont un vecteur propre commun.

3. (c)

   On suppose maintenant que $u\circ v-v\circ u\in Vect(u,v)$
   Montrer qu’il existe une base de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont triangulaires supérieures.