Soient et deux endomorphismes d’un -espace vectoriel de dimension finie tels que
- (a)
Montrer que est nilpotent.
- (b)
On suppose Montrer qu’il existe une base de et tels que:
et
Soient et deux endomorphismes d’un -espace vectoriel de dimension finie tels que
Montrer que est nilpotent.
On suppose Montrer qu’il existe une base de et tels que:
et
Soient un -espace vectoriel de dimension finie non nulle, dans et dans On suppose
On étudie le cas
Montrer que et ont un vecteur propre en commun.
On étudie le cas
Montrer que est non inversible.
Calculer et montrer que est nilpotent.
Conclure que et ont un vecteur propre en commun.
On étudie le cas
Montrer que et ont un vecteur propre en commun.
Soient un -espace vectoriel de dimension finie non nulle, et dans tels que
Montrer que et ont un vecteur propre commun.
Dans le cas et on pourra montrer que est nilpotent en étudiant les valeurs propres de l’endomorphisme
Soit un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soient et des endomorphismes de ; on pose
On suppose Montrer que et sont cotrigonalisables.
On suppose avec Montrer que est nilpotent et que et sont cotrigonalisables.
On suppose l’existence de complexes et tels que Montrer que et sont cotrigonalisables.
Soient et deux endomorphismes d’un -espace vectoriel tels que
Montrer que, pour tout entier on a
En dimension finie non nulle, montrer qu’il n’existe pas deux endomorphismes et tels que
Montrer que dans les endomorphismes et définis par et conviennent.
Soient un espace vectoriel réel de dimension finie, et deux endomorphismes de vérifiant
Calculer
Soit un polynôme. Montrer que si alors
En déduire que est un endomorphisme nilpotent.
Soit On considère l’endomorphisme de défini par
On suppose que la matrice est nilpotente.
Montrer que l’endomorphisme est aussi nilpotent.
Réciproque?
Soient vérifiant
On suppose en outre que commute avec les matrices et
On suppose que et diagonalisable. Montrer que la matrice est nulle.
On suppose que la matrice est diagonalisable. Montrer à nouveau que la matrice est nulle.
On fixe et on considère
Prouver que est un endomorphisme de et que:
On suppose que commute avec Montrer:
Vérifier
Soit une norme sur Montrer que
En déduire que la matrice est nilpotente.
Soient un -espace vectoriel de dimension finie non nulle, et deux endomorphismes de
On suppose dans cette question et dans la suivante que
Montrer que est stable par
Montrer que
Indice: On pourra raisonner par l’absurde et utiliser la trace.
En déduire que et ont un vecteur propre commun.
On suppose maintenant que
Montrer qu’il existe une base de dans laquelle les matrices de et sont triangulaires supérieures.