On pose

1. (a)

   Montrer que $z$ est définie, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et vérifie

   $$z^{\prime }(x)=\frac{-1}{2(x+i)}z(x)\text{.}$$

2. (b)

   En déduire l’expression de $z(x)$ sachant $z(0)=\sqrt{\pi }/2.$

On considère

1. (a)

   Montrer la définie et la continuité de $\phi$ sur $\mathbb{R}.$

2. (b)

   Montrer que $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^{*}$ et montrer que

   $${\phi }^{\prime }(x)=\mathrm{i}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}tx}}{1+t^2}\mathrm{d}t\text{.}$$

3. (c)

   Montrer que pour $x>0,$

   $${\phi }^{\prime }(x)=\mathrm{i}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{u{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}u}}{x^2+u^2}\mathrm{d}u$$

   et déterminer un équivalent de ${\phi }^{\prime }(x)$ quand $x\to 0^{+}.$

4. (d)

   La fonction $\phi$ est-elle dérivable en $0$?

On étudie

1. (a)

   Donner le domaine de définition de $f.$

2. (b)

   Calculer $f$ en formant une équation différentielle.

3. (c)

   Calculer $f$ en exploitant le développement en série entière de la fonction cosinus.

Existence et calcul de

sachant $g(0)=\sqrt{\pi }/2.$