Soient et l’endomorphisme de déterminé par
- (a)
Justifier que l’endomorphisme est nilpotent.
- (b)
Déterminer des réels non triviaux vérifiant:
Soient et l’endomorphisme de déterminé par
Justifier que l’endomorphisme est nilpotent.
Déterminer des réels non triviaux vérifiant:
Soit l’application définie par
Montrer que est un endomorphisme et que pour tout polynôme non constant
Déterminer et
Soit et Montrer
En déduire que, si alors
Soit définie par
Justifier que est bien définie et que c’est une application linéaire.
Déterminer le noyau de
En déduire que est surjective.
Montrer que définie par est bijective.
On en déduit qu’il existe un unique tel que
Montrer que pour tout il existe unique tel que
Justifier qu’on peut exprimer en fonction de
En calculant de deux façons déterminer une relation donnant en fonction de
Soient un polynôme non nul de et l’application définie par:
Montrer que est un endomorphisme de tel que
Déterminer le noyau et l’image de cet endomorphisme.
Soient distincts. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme de vérifiant
Soit Montrer que la suite vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.
Pour et on note l’ensemble des suites vérifiant
Montrer que si est unique; on le notera .
Montrer que est un -espace vectoriel.
Montrer que qui à associe , est linéaire et donner une base de son noyau.
Que représente son image?
Donner une base de (on pourra utiliser pour ).
Application: Déterminer la suite définie par