Soient $n\in {\mathbb{N}}^{*},$ $E={\mathbb{R}}_n[X]$ et $\mathrm{\Delta }$ l’endomorphisme de $E$ déterminé par $\mathrm{\Delta }(P)=P(X+1)-P(X).$

1. (a)

   Justifier que l’endomorphisme $\mathrm{\Delta }$ est nilpotent.

2. (b)

   Déterminer des réels $a_0,\mathrm{\dots },a_n,a_{n+1}$ non triviaux vérifiant:

   $$\forall P\in {\mathbb{R}}_n[X],\sum _{k=0}^{n+1}{a}_{k}P(X+k)=0\text{.}$$

Soit $\mathrm{\Delta }:\mathbb{C}[X]\to \mathbb{C}[X]$ l’application définie par

1. (a)

   Montrer que $\mathrm{\Delta }$ est un endomorphisme et que pour tout polynôme $P$ non constant $\mathrm{deg}\left(\mathrm{\Delta }(P)\right)=\mathrm{deg}P-1.$

2. (b)

   Déterminer $Ker\mathrm{\Delta }$ et $Im\mathrm{\Delta }.$

3. (c)

   Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ et $n\in \mathbb{N}.$ Montrer

   $${\mathrm{\Delta }}^n(P)={(-1)}^n\sum _{k=0}^n{(-1)}^k\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right)P(X+k)\text{.}$$

4. (d)

   En déduire que, si $\mathrm{deg}P<n,$ alors

   $$\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right){(-1)}^{k}P(k)=0\text{.}$$

Soit $\phi :{\mathbb{K}}_{n+1}[X]\to {\mathbb{K}}_n[X]$ définie par $\phi (P)=(n+1)P-X{P}^{\prime }.$

1. (a)

   Justifier que $\phi$ est bien définie et que c’est une application linéaire.

2. (b)

   Déterminer le noyau de $\phi .$

3. (c)

   En déduire que $\phi$ est surjective.

1. (a)

   Montrer que $\phi :{\mathbb{R}}_n[X]\to {\mathbb{R}}_n[X]$ définie par $\phi (P)=P(X)+P(X+1)$ est bijective.
   On en déduit qu’il existe un unique $P_n\in {\mathbb{R}}_n[X]$ tel que

   $$P_n(X)+P_n(X+1)=2X^n\text{.}$$

   Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N},$ il existe $P_n\in {\mathbb{R}}_n[X]$ unique tel que

   $$P_n(X)+P_n(X+1)=2X^n\text{.}$$

2. (b)

   Justifier qu’on peut exprimer $P_n(X+1)$ en fonction de $P_0,\mathrm{\dots },P_n.$

3. (c)

   En calculant de deux façons $P_n(X+2)+P_n(X+1)$ déterminer une relation donnant $P_n$ en fonction de $P_0,\mathrm{\dots },P_{n-1}.$

Soient $A$ un polynôme non nul de $\mathbb{R}[X]$ et $r:\mathbb{R}[X]\to \mathbb{R}[X]$ l’application définie par:

Montrer que $r$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$ tel que $r^2=r\circ r=r.$
Déterminer le noyau et l’image de cet endomorphisme.

Soient $a,b\in \mathbb{R}$ distincts. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme $\phi$ de $\mathbb{R}[X]$ vérifiant

Soit $P\in \mathbb{R}[X].$ Montrer que la suite ${(P(n))}_{n\in \mathbb{N}}$ vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

Pour $p\in \mathbb{N}$ et $a\in \mathbb{R}\setminus \{0,1\},$ on note $S_p$ l’ensemble des suites $(u_n)$ vérifiant

1. (a)

   Montrer que si $u\in S_p,$ $P$ est unique; on le notera $P_u$.

2. (b)

   Montrer que $S_p$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

3. (c)

   Montrer que $\varphi ,$ qui à $u$ associe $P_u$, est linéaire et donner une base de son noyau.
   Que représente son image?

4. (d)

   Donner une base de $S_p$ (on pourra utiliser $R_k(X)={(X+1)}^k-a{X}^k$ pour $k\in ⟦0;p⟧$).

5. (e)

   Application: déterminer la suite $(u_n)$ définie par

   $$u_0=-2\text{ et }{u}_{n+1}=2u_n-2n+7\text{.}$$