Résoudre les équations suivantes:

1. (a)

   $3x+5=0$ dans $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$

2. (b)

   $x^2=1$ dans $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$

3. (c)

   $x^2+2x+2=0$ dans $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}.$

Résoudre le système suivant:

Déterminer les morphismes de groupes entre $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ et $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},+).$

Soit $p$ un nombre premier. Calculer dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

1. (a)

   Déterminer l’ensemble des inversibles de l’anneau $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}.$ De quelle structure peut-on munir cet ensemble?

2. (b)

   Y a-t-il, à isomorphisme près, d’autres groupes de cardinal 4?

Si $p$ est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$?

Donner l’ensemble $G$ des inversibles de l’anneau $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}.$
Montrer que $(G,\times )$ est isomorphe à $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+)$

(Petit théorème de Fermat)

Soit $p$ un nombre premier. Montrer

On se propose d’établir qu’il n’existe pas d’entiers $n\ge 2$ tels que $n$ divise $2^n-1.$ On raisonne par l’absurde et on suppose qu’un tel entier $n$ existe. On introduit $p$ un facteur premier de $n.$

1. (a)

   Montrer que la classe de $2$ est élément du groupe des inversibles de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et que son ordre divise $n$ et $p-1.$

2. (b)

   Conclure