Soit $d\in \mathbb{N},$ on note

Montrer que $\mathbb{Z}\left[\sqrt{d}\right]$ est un sous-anneau de $(\mathbb{R},+,\times ).$

(Anneau des entiers de Gauss 1777-1855)

On note

1. (a)

   Montrer que $\mathbb{Z}\left[\mathrm{i}\right]$ est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication des nombres complexes.

2. (b)

   Pour $z\in \mathbb{Z}\left[\mathrm{i}\right],$ on pose $N(z)={\left|z\right|}^2.$ Vérifier

   $$\forall (z,z^{\prime })\in \mathbb{Z}{\left[\mathrm{i}\right]}^2,N(z{z}^{\prime })=N(z)N(z^{\prime })\text{ et }N(z)\in \mathbb{N}\text{.}$$

3. (c)

   Déterminer les éléments inversibles de l’anneau $\mathbb{Z}\left[\mathrm{i}\right].$

Soit

1. (a)

   Montrer que $A$ est un sous anneau de $(\mathbb{Q},+,\times ).$

2. (b)

   Quels en sont les éléments inversibles?

Soit

1. (a)

   Montrer que $A$ est un sous anneau de $(\mathbb{Q},+,\times ).$

2. (b)

   Quels en sont les éléments inversibles?

Un anneau $A$ est dit régulier si

On considère un tel anneau $A$ et l’on introduit

1. (a)

   Montrer que $Z$ est un sous-anneau de $A.$

2. (b)

   Vérifier que $Z$ est régulier.