Soit $a$ une suite de réels telle que $a_{n+1}-a_n$ tend vers 0. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de $a$ est un intervalle.

Soit $K$ une partie compacte d’un espace vectoriel normé $E.$
Montrer que si une suite $(u_n)$ d’éléments de $K$ n’a qu’une seule valeur d’adhérence alors cette suite converge vers celle-ci.

Soit $(u_n)$ une suite réelle bornée telle que $u_n+\frac{1}{2}{u}_{2n}\to 0.$
Montrer que si $a$ est une valeur d’adhérence de $(u_n)$ alors $-2a$ l’est aussi.
En déduire que $(u_n)$ converge.

Déterminer les suites réelles bornées telle que ${\left(u_n+\frac{u_{2n}}{2}\right)}_{n\ge 0}$ converge.