Soient $\theta \in ]0;\pi /2[$ et

Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. Quelle est leur limite commune?

On pose

Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
En déduire un équivalent de

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*},$ on pose

Montrer que les suites $(S_n)$ et $(S_n^{\prime })$ sont adjacentes.
On peut montrer que leur limite commune est ${\pi }^2/6,$ mais c’est une autre histoire…

(Moyenne arithmético-géométrique)

1. (a)

   Pour $(a,b)\in {\mathbb{R}}^{+2},$ établir:

   $$2\sqrt{ab}\le a+b\text{.}$$

2. (b)

   On considère les suites de réels positifs $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par

   $$u_0=a,v_0=b\text{ et }\forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n{v}_n},v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}\text{.}$$

   Montrer que, pour tout $n\ge 1,$ $u_n\le v_n,$ $u_n\le u_{n+1}$ et $v_{n+1}\le v_n.$

3. (c)

   Établir que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite.
   Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ et est notée $M(a,b).$

4. (d)

   Calculer $M(a,a)$ et $M(a,0)$ pour $a\in {\mathbb{R}}_{+}.$

5. (e)

   Exprimer $M(\lambda a,\lambda b)$ en fonction de $M(a,b)$ pour $\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}.$

(Irrationalité de $\mathrm{e}$)

On pose pour $n\ge 1,$

1. (a)

   Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

2. (b)

   En exploitant l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^x,$ montrer que $u_n\to \mathrm{e}.$

3. (c)

   On suppose que $\mathrm{e}=p/q$ avec $p,q\in {\mathbb{N}}^{*}.$ En considérant $q.q!u_q$ et $q.q!v_q$ obtenir une absurdité.