Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue en 0 et en 1 telle que

Montrer que $f$ est constante.

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continue telle que $\forall x\in \mathbb{R},$

Montrer que $f$ est constante.

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue et prenant la valeur 1 en 0.
On suppose que

Déterminer $f.$

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continue telle que

1. (a)

   Calculer $f(0)$ et montrer que pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f(-x)=-f(x).$

2. (b)

   Justifier que pour tout $n\in \mathbb{Z}$ et tout $x\in \mathbb{R},$ $f(nx)=nf(x).$

3. (c)

   Établir que pour tout $r\in \mathbb{Q},$ $f(r)=ar$ avec $a=f(1).$

4. (d)

   Conclure que pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f(x)=ax.$

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ telle que pour tout $x,y\in \mathbb{R},$

On suppose en outre que la fonction $f$ est continue en un point $x_0\in \mathbb{R}.$
Déterminer la fonction $f.$

On cherche les fonctions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continues telles que

1. (a)

   On suppose $f$ solution et $f(0)=f(1)=0.$
   Montrer que $f$ est périodique et que

   $$\forall x\in \mathbb{R},2f(x)=f(2x)\text{.}$$

   En déduire que $f$ est nulle.

2. (b)

   Déterminer toutes les fonctions $f$ solutions.

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que

1. (a)

   On suppose $f(0)=0.$ Vérifier

   $$\forall x,y\in \mathbb{R},f(x+y)=f(x)+f(y)\text{.}$$

2. (b)

   On revient au cas général, déterminer $f.$

Déterminer les fonctions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ vérifiant