Soit $f:[a;b]\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$. Montrer que $f$ est lipschitzienne.

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ et périodique.
Montrer que $f$ est lipschitzienne.

Montrer que la fonction $f:{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$ définie par:

est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$.

Soit $n\in \mathbb{N},$ montrer que la fonction

est de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur $\mathbb{R}.$

Soit $f:{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ telle que $f^{\prime }(0)=0.$
Montrer qu’il existe $g:{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ telle que