Calcul de rayon de convergence abstrait

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Exercice 977

(2.4)

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Soient $\sum_{n \geq 0} a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$ et $z_{0} \in C .$ On suppose que $\sum_{n \geq 0} a_{n} z_{0}^{n}$ est semi-convergente. Déterminer $R .$

Exercice 975

(3)

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On suppose que $\sqrt[n]{| a_{n} |} \to ℓ \in R_{+} \cup {+ \infty} .$
Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n} .$

Exercice 978

(3.1)

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Montrer que pour tout $α \in R$ les séries entières $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum n^{α} a_{n} z^{n}$ ont même rayon de convergence.

Exercice 974

(2.8)

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Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R .$
Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} z^{2 n} .$

Exercice 3310

(3.8)

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Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R .$
Déterminer le rayon de convergence de

\sum a_{n}^{2} z^{n} .

Exercice 3309

(3.4)

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Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0 .$
Déterminer le rayon de convergence de

\sum \frac{a_{n}}{n!} z^{n} .

Exercice 2523 CCP MP

(2.6)

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Soit une série entière $\sum a_{n} z^{n}$ de rayon de convergence non nul.

(a)

Montrer qu’il existe un réel $r > 0$ tel que $| a_{n} | \leq 1 / r^{n}$ à partir d’un certain rang.
(b)

Quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum \frac{a_{n}}{n!} z^{n}$ ?
(c)

On note $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} .$ Quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum \frac{S_{n}}{n!} z^{n}$ ?

Indice :

b) Observer que la série numérique $\sum a_{n} z^{n} / n!$ converge pour pour $z \in C .$

Exercice 3484

(2.9)

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Soit $(a_{n})$ une suite de réels tous non nuls.
Quelle relation lie les rayons de convergence des séries entières ci-dessous

\sum a_{n} z^{n} et \sum \frac{1}{a_{n}} z^{n} .

Exercice 976

(3.7)

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Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R .$ On pose

b_{n} = \frac{a_{n}}{1 + | a_{n} |}

et on note $R^{'}$ le rayon de convergence de $\sum b_{n} z^{n} .$

(a)

Montrer que $R^{'} \geq \max (1, R)$
(b)

Établir que si $R^{'} > 1$ alors $R^{'} = R .$
(c)

Exprimer alors $R^{'}$ en fonction de $R .$

Exercice 979

(2.6)

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Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ deux séries entières de rayon de convergence $R_{a}$ et $R_{b}$ .
On suppose que pour tout $n \in N,$ $a_{n} b_{n} = 0 .$
Montrer que le rayon de convergence de $\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}$ est $R = \min (R_{a}, R_{b})$