Déterminer le rayon de convergence des séries entières:

1. (a)

   ${\sum }_{n\ge 0}\frac{n^2+1}{3^n}{z}^n$

2. (b)

   ${\sum }_{n\ge 0}{\mathrm{e}}^{-n^2}{z}^n$

3. (c)

   ${\sum }_{n\ge 1}\frac{\ln n}{n^2}{z}^{2n}$

4. (d)

   ${\sum }_{n\ge 0}\frac{n^n}{n!}{z}^{3n}$

Déterminer le rayon de convergence de:

1. (a)

   ${\sum }_{n\ge 0}n!z^n$

2. (b)

   ${\sum }_{n\ge 0}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{2n}{n}\right)z^n$

3. (c)

   ${\sum }_{n\ge 0}\frac{(3n)!}{{(n!)}^3}{z}^n$

4. (d)

   ${\sum }_{n\ge 0}\left(\sqrt[n+1]{n+1}-\sqrt[n]{n}\right)z^n$

Déterminer le rayon de convergence des séries entières:

1. (a)

   ${\sum }_{n\ge 0}{z}^{n^2}$

2. (b)

   ${\sum }_{n\ge 0}\sin (n)z^n$

3. (c)

   ${\sum }_{n\ge 1}\frac{\sin (n)}{n^2}{z}^n$

1. (a)

   Déterminer les rayons de convergence des séries entières

   $$\sum \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)x^n\text{ et }\sum \sin ({\mathrm{e}}^{-n})x^n\text{.}$$

2. (b)

   Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de convergence?

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n{x}^n$ où $(a_n)$ est la suite déterminée par

avec $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2.$

Quel est le rayon de convergence de $\sum {\pi }^{\sqrt{n^2+2n}}{x}^{2n}$?

On note $a_n$ la $n$-ième décimale de $\sqrt{3}$.
Quel est l’intervalle de définition de ${\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$?

Soit $\alpha \in \mathbb{R}.$ Quel est le rayon de convergence de ${\sum }_{n\ge 1}\frac{\cos (n\alpha )}{n}{x}^n$?

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes:

où $d(n)$ et $s(n)$ désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à 1 de l’entier $n$ et la somme de ceux-ci.

Soit $\alpha$ un réel irrationnel fixé. On note $R_{\alpha }$ le rayon de convergence de la série entière

1. (a)

   Démontrer que $R_{\alpha }\le 1.$

2. (b)

   On considère la suite ${(u_n)}_{n\ge 1}$ définie par

   $$u_1=2\text{ et }\forall n\ge 1,u_{n+1}={(u_n)}^{u_n}\text{.}$$

   Démontrer que pour tout entier $n\ge 1$

   $$\frac{u_n}{u_{n+1}}\le \frac{1}{{(n+1)}^n}\text{.}$$

   En déduire que la série de terme général $1/u_n$ converge.
   Dans la suite, on pose

   $$\alpha =\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{u_n}$$

   et on admet que $\alpha$ est irrationnel.

3. (c)

   Démontrer qu’il existe une constante $C$ strictement positive telle que, pour tout entier $n\ge 1$:

   $$\pi u_n\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{u_k}\le \frac{C}{u_n^{u_n-1}}\text{.}$$

4. (d)

   Démontrer que $R_{\alpha }=0.$

5. (e)

   Question subsidiaire: démontrer que $\alpha$ est effectivement irrationnel.
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