On pose

1. (a)

   Donner un équivalent simple de $S_n$.

2. (b)

   Montrer que

   $$S_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\ln n+C+\mathrm{o}(1)\text{.}$$

On pose

1. (a)

   Montrer que ${(S_n)}_{n\ge 1}$ converge vers une constante $C.$

2. (b)

   Établir que

   $$S_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}C-\frac{1}{n}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{n}\right)\text{.}$$

1. (a)

   Sous réserve d’existence, déterminer pour $\alpha \ge 1$

   $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k^{\alpha }}\text{.}$$

2. (b)

   Sous réserve d’existence, déterminer

   $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=n+1}^{2n}\sin \left(\frac{1}{k}\right)\text{.}$$

On pose

1. (a)

   Montrer qu’il existe des constantes $\alpha$ et $\beta$ telles que

   $$\ln u_n=\alpha \ln n+\beta +\mathrm{o}(1)\text{.}$$

   En déduire un équivalent de $u_n$.

2. (b)

   Déterminer la nature de ${\sum }_{n\ge 1}{u}_n.$

Déterminer

Déterminer un équivalent simple de:

1. (a)

   ${\sum }_{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(nk+1)}$

2. (b)

   ${\sum }_{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(n+k)}$

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{*},$ on pose

Pour $p\in \mathbb{N},$ on pose

Déterminer un équivalent de $n_p$ quand $p\to +\mathrm{\infty }$

Soit $j\in \mathbb{N}.$ On note ${\mathrm{\Phi }}_j$ le plus petit entier $p\in {\mathbb{N}}^{*}$ vérifiant

1. (a)

   Justifier la définition de ${\mathrm{\Phi }}_j$.

2. (b)

   Démontrer que ${\mathrm{\Phi }}_j\underset{j\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }.$

3. (c)

   Démontrer $\frac{{\mathrm{\Phi }}_{j+1}}{{\mathrm{\Phi }}_j}\underset{j\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mathrm{e}.$

Soit ${(u_n)}_{n\ge 1}$ une suite d’éléments de ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$.
On pose

On suppose que $(v_n)$ tend vers $a\in {\mathbb{R}}_{+}^{*}.$
Étudier la convergence de $(w_n).$

On pose

1. (a)

   Montrer que la suite $(a_n)$ converge et trouver sa limite $\lambda .$

2. (b)

   Trouver un équivalent simple de $a_n-\lambda .$