Soit $f:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$.
On suppose que $f^2$ et $f^{\mathrm{\prime }2}$ sont intégrables. Déterminer la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }.$

Soit $f:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ une fonction continue par morceaux.
On suppose que $f$ est intégrable. Montrer

Soit $f:{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$ une fonction continue, décroissante et intégrable sur ${\mathbb{R}}_{+}$.

1. (a)

   Montrer que $f$ tend vers zéro en $+\mathrm{\infty }.$

2. (b)

   Montrer que $xf(x)$ tend vers zéro quand $x\to +\mathrm{\infty }$

3. (c)

   Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonction $f$ continue et intégrable sur ${\mathbb{R}}_{+}$ telle que $f$ ne tend pas vers zéro en $+\mathrm{\infty }.$

Soit $f:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ continue par morceaux et intégrable.
Montrer qu’il existe une suite $(x_n)$ de réels positifs vérifiant

Donner un exemple de $f\in {\mathcal{C}}^0({\mathbb{R}}_{+},{\mathbb{R}}_{+})$ intégrable et non bornée.

Soit $f\in {\mathcal{C}}^2([0;+\mathrm{\infty }[,\mathbb{R}).$ On suppose que $f$ et $f^{\mathrm{\prime \prime }}$ sont intégrables.

1. (a)

   Montrer que $f^{\prime }(x)\to 0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }.$

2. (b)

   Montrer que $f.f^{\prime }$ est intégrable.

Soit $g:{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$ continue et intégrable.

1. (a)

   Justifier

   $$\forall \epsilon >0,\exists M\in \mathbb{R},|{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\left|g(t)\right|\mathrm{d}t-{\int }_0^M\left|g(t)\right|\mathrm{d}t|\le \epsilon \text{.}$$

2. (b)

   En déduire que toute primitive de $g$ est uniformément continue.

Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ telle que $f^{\mathrm{\prime \prime }}$ est intégrable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et telle que l’intégrale ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t$ soit convergente.

1. (a)

   Montrer que

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x)=0\text{ et }\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0\text{.}$$

2. (b)

   Étudier les séries

   $$\sum f(n)\text{ et }\sum f^{\prime }(n)\text{.}$$