Calcul matriciel [pdf]

Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}),$ on note $\sigma \left(A\right)$ la somme des termes de $A.$
On pose

Vérifier $J.A.J=\sigma (A).J.$

Soit

avec $0\le d\le c\le b\le a$ et $b+c\le a+d.$
Pour tout $n\ge 2,$ on note

Démontrer que, pour tout $n\ge 2,$

Résoudre l’équation $X^2=A$ où

Soit $A\in {GL}_n(\mathbb{R})$ vérifiant

Pour $k\in \mathbb{N},$ calculer $A^k+A^{-k}.$

Soient ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n$ des éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts et $D=diag({\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n).$
Déterminer les matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ commutant avec $D.$

Soit $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}).$ Montrer que

Soient $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ où $B$ est nilpotente et commute avec $A.$ Montrer que $A$ et $A+B$ sont simultanément inversibles.

On suppose que $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ commutent et que $A$ est inversible.
Justifier que les matrices $A^{-1}$ et $B$ commutent.

1. (a)

   Quelles sont les matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ commutant avec toutes les matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$?

2. (b)

   Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de ${GL}_n(\mathbb{K}).$

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{*},$ ${\alpha }_1,\mathrm{\dots },{\alpha }_n$ des complexes distincts, $A=diag({\alpha }_1,\mathrm{\dots },{\alpha }_n)$ et

Montrer que ${(A^k)}_{0\le k\le n-1}$ est une base de $C(A).$

Soit $n\in \mathbb{N}$ avec $n\ge 2.$

1. (a)

   Montrer que

   $$\{A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})|\forall M\in {GL}_n(\mathbb{R}),AM=MA\}=\{\lambda {\mathrm{I}}_n|\lambda \in \mathbb{R}\}$$

2. (b)

   Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}).$ On suppose que

   $$\forall M,N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),A=MN⟹A=NM$$

   Montrer qu’il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $A=\lambda I_n$

Soit $T\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ une matrice triangulaire supérieure.
Montrer que $T$ commute avec sa transposée si, et seulement si, la matrice $T$ est diagonale.

Soit $n\ge 2.$ Déterminer les matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ commutant avec toutes les matrices symétriques.

Soit $n\ge 2.$ Déterminer les matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

Soient $D=diag(a_1,\mathrm{\dots },a_n)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et

1. (a)

   Déterminer noyau et image de l’endomorphisme $\phi .$

2. (b)

   Préciser ces espaces quand $D$ est à coefficients diagonaux distincts.

On considère la matrice

et on pose $B=A-I.$
Calculer $B^n$ pour $n\in \mathbb{N}$ et en déduire l’expression de $A^n$.

Calculer $A^n$ pour

de deux manières différentes.

On considère la matrice

1. (a)

   Calculer $A^2-3A+2I.$ En déduire que $A$ est inversible et calculer son inverse.

2. (b)

   Pour $n\ge 2,$ déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2.$

3. (c)

   En déduire l’expression de la matrice $A^n$.

Soit

1. (a)

   Soit $k\in {\mathbb{N}}^{*}.$ Majorer les coefficients de $A^k$.

2. (b)

   Calculer $A^{-1}$.

3. (c)

   Calculer ${(A^{-1})}^k$ pour $k\in \mathbb{N}.$

Soit

Observer que

À quelle condition $A$ est-elle inversible? Déterminer alors $A^{-1}$.

Calculer l’inverse des matrices carrées suivantes:

1. (a)

   $A=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -3\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right)$

2. (b)

   $B=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right)$

3. (c)

   $C=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right)$

Justifier que

est inversible et déterminer $A^{-1}$.

Soient $n\in \mathbb{N}\setminus \left\{\mathrm{0,1}\right\}$ et $\omega =\exp \left(\frac{2\mathrm{i}\pi }{n}\right).$ On pose

Calculer $A\overline{A}.$ En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.

Soit

1. (a)

   Calculer ${(A+I)}^3$.

2. (b)

   En déduire que $A$ est inversible.

Soit $A=(1-{\delta }_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$

1. (a)

   Calculer $A^2$.

2. (b)

   Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telle que la matrice $I+A$ soit inversible. On pose $B=(I-A){(I+A)}^{-1}.$

1. (a)

   Montrer que $B={(I+A)}^{-1}(I-A).$

2. (b)

   Montrer que $I+B$ est inversible et exprimer $A$ en fonction de $B.$

Soient $A,B,C\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$($n\ge 2$) non nulles vérifiant

Montrer qu’au moins deux des matrices $A,B,C$ ne sont pas inversibles.

Montrer que la matrice

est inversible et calculer son inverse.

Montrer que les matrices carrées d’ordre $n\ge 2$ suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss:

1. (a)

   $A=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill -a\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill -a\hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$

2. (b)

   $B=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill \hfill & \hfill (1)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$

3. (c)

   $C=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill n\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.

Montrer que ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}).$

Soit $E$ l’ensemble des matrices de la forme

avec $a,b,c\in \mathbb{R}.$
Notre objectif est d’établir que l’inverse d’une matrice inversible de $E$ appartient encore à $E,$ sans pour autant calculer cet inverse.

1. (a)

   Montrer que $(E,+,.)$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel dont on précisera la dimension.

2. (b)

   Montrer que $(E,+,\times )$ est un anneau commutatif.

3. (c)

   À quelle condition sur $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3,$ la matrice $A=M(a,b,c)$ est-elle inversible dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$? On suppose cette condition vérifiée. En considérant l’application $f:E\to E$ définie par $f(X)=AX,$ montrer que $A^{-1}\in E.$

(Matrices de permutation) Soit $n\in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}.$ Pour $\sigma \in {\mathcal{S}}_n,$ on note

appelée matrice de permutation associée à $\sigma .$

1. (a)

   Montrer que

   $$\forall (\sigma ,{\sigma }^{\prime })\in {\mathcal{S}}_n^2,P\left(\sigma \circ {\sigma }^{\prime }\right)=P(\sigma )P({\sigma }^{\prime })$$

2. (b)

   En déduire que $E=\{P(\sigma )\mid \sigma \in {\mathcal{S}}_n\}$ est un sous-groupe de ${GL}_n(\mathbb{R})$ isomorphe à ${\mathcal{S}}_n$.

3. (c)

   Vérifier que

   $${}^t\left(P(\sigma )\right)=P({\sigma }^{-1})$$

Soit $E$ l’ensemble des matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{K})$ de la forme

1. (a)

   Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{K}),$ en donner une base.

2. (b)

   Montrer que $E$ est un sous-anneau commutatif de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{K}).$

3. (c)

   Déterminer les inversibles de $E.$

4. (d)

   Déterminer les diviseurs de zéro de $E$ c’est-à-dire les matrices $A$ et $B\in E$ vérifiant $AB=O_2$ avec $A,B\ne O_2.$

On dit qu’une matrice $A=\left(a_{i,j}\right)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est centro-symétrique si

1. (a)

   Montrer que le sous-ensemble $C$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ formé des matrices centro-symétriques est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}).$

2. (b)

   Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est aussi centro-symétrique.

3. (c)

   Soit $A$ centro-symétrique de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et inversible.
   En considérant l’application $X\mapsto AX$ de $C$ vers $C,$ montrer que $A^{-1}$ est centro-symétrique.

Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires $f$ suivantes:

1. (a)

   $f:\{\begin{array}{c}\hfill {\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2\hfill \\ \hfill (x,y,z)\mapsto (x+y,y-2x+z)\hfill \end{array}$

2. (b)

   $f:\{\begin{array}{c}\hfill {\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3\hfill \\ \hfill (x,y,z)\mapsto (y+z,z+x,x+y)\hfill \end{array}$

3. (c)

   $f:\{\begin{array}{c}\hfill {\mathbb{R}}_3\left[X\right]\to {\mathbb{R}}_3\left[X\right]\hfill \\ \hfill P\mapsto P(X+1)\hfill \end{array}$

4. (d)

   $f:\{\begin{array}{c}\hfill {\mathbb{R}}_3\left[X\right]\to {\mathbb{R}}^4\hfill \\ \hfill P\mapsto (P(1),P(2),P(3),P(4))\hfill \end{array}$

On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de ${\mathbb{R}}^3$ suivants:

On note $\mathcal{B}=(i,j,k)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.
On note $p$ la projection vectorielle sur $P$ parallèlement à $D,$ $q$ celle sur $D$ parallèlement à $P,$ et enfin, $s$ la symétrie vectorielle par rapport à $P$ et parallèlement à $D.$

1. (a)

   Former la matrice de $p$ dans $\mathcal{B}.$

2. (b)

   En déduire les matrices, dans $\mathcal{B},$ de $q$ et de $s.$

Soit $\phi$ l’endomorphisme de ${\mathbb{R}}_n\left[X\right]$ défini par $\phi (P)=P(X+1).$

1. (a)

   Écrire la matrice $A$ de $\phi$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ de ${\mathbb{R}}_n\left[X\right].$

2. (b)

   Justifier que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.

Soit $A={\left(a_{i,j}\right)}_{1\le i,j\le n+1}\in {\mathcal{M}}_{n+1}(\mathbb{R})$ la matrice dont le coefficient général est donné par un coefficient binomial:

Soit $\phi \in \mathcal{L}({\mathbb{R}}_n\left[X\right])$ l’endomorphisme représenté par la matrice $A$ dans la base canonique $(\mathrm{1,}X,\mathrm{\dots },X^n).$

1. (a)

   Exprimer simplement $\phi (P)$ pour tout $P\in {\mathbb{R}}_n\left[X\right].$

2. (b)

   Calculer $A^m$ pour tout $m\in \mathbb{N}.$

3. (c)

   Calculer $A^{-1}$.

Soient $a\in {\mathbb{C}}^{*}$ et $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ définie par $f(z)=z+a\overline{z}.$

1. (a)

   Former la matrice de l’endomorphisme $f$ du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$ dans la base $(\mathrm{1,}\mathrm{i}).$

2. (b)

   Déterminer image et noyau de $f.$

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension 3 et $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^2\ne 0$ et $f^3=0.$
Montrer qu’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est

Soit $f$ un endomorphisme d’un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ vérifiant

1. (a)

   Justifier qu’il existe un vecteur $x\in E$ tel que la famille $\mathcal{B}=(x,f(x),f^2(x),\mathrm{\dots },f^{n-1}(x))$ forme une base de $E.$

2. (b)

   Déterminer les matrices de $f,f^2,\mathrm{\dots },f^{n-1}$ dans cette base.

3. (c)

   En déduire que

   $$\{g\in \mathcal{L}(E)\mid g\circ f=f\circ g\}=Vect(Id,f,f^2,\mathrm{\dots },f^{n-1})$$

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel muni d’une base $\mathcal{B}=(i,j,k).$
Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est

1. (a)

   Calculer $A^2$. Qu’en déduire sur $f$?

2. (b)

   Déterminer une base de $Imf$ et $\ker f.$

3. (c)

   Quelle est la matrice de $f$ relativement à une base adaptée à la supplémentarité de $Imf$ et $\ker f$?

Soit

On note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.
Soit $f$ l’endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est $A.$

1. (a)

   Déterminer $\ker f$ et $Imf.$ Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans ${\mathbb{R}}^3$.

2. (b)

   Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de $f$ dans cette base.

3. (c)

   Décrire $f$ comme composée de transformations vectorielles élémentaires.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ et $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^n=0$ et $f^{n-1}\ne 0.$
Montrer qu’il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ pour laquelle:

Soit $f$ un endomorphisme non nul d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension $3$ vérifiant $f^3+f=0.$

1. (a)

   Soit $x\in E.$ Démontrer que si $x=y+z$ avec $y\in \ker f$ et $z\in \ker (f^2+Id)$ alors $y=x+f^2(x)$ et $z=-f^2(x).$

2. (b)

   Montrer que

   $$E=\ker f\oplus \ker (f^2+Id)$$

3. (c)

   Prouver $dim\ker (f^2+Id)\ge 1.$ Montrer que, si $x\in \ker (f^2+Id)\setminus \left\{0\right\}$ alors $(x,f(x))$ est une famille libre de $\ker (f^2+Id).$

4. (d)

   Que vaut $det(-Id)$? En déduire $dim\ker (f^2+Id)=2.$

5. (e)

   Déterminer une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est

   $$\left(\begin{array}{ccc}\hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)$$

Soit

On note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.
Soit $f$ l’endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est $A.$
On pose ${\epsilon }_1=(\mathrm{1,1,1}),{\epsilon }_2=(\mathrm{1,}-\mathrm{1,0}),{\epsilon }_3=(\mathrm{1,0,1})$ et ${\mathcal{B}}^{\prime }=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3).$

1. (a)

   Montrer que ${\mathcal{B}}^{\prime }$ constitue une base de ${\mathbb{R}}^3$.

2. (b)

   Écrire la matrice de $f$ dans cette base.

3. (c)

   Déterminer une base de $\ker f$ et de $Imf.$

Soit $f\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ représenté dans la base canonique $\mathcal{B}$ par:

1. (a)

   Soit $\mathcal{C}=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$ avec ${\epsilon }_1=(\mathrm{1,0,1}),{\epsilon }_2=(-\mathrm{1,1,0}),{\epsilon }_3=(\mathrm{1,1,1}).$
   Montrer que $\mathcal{C}$ est une base.

2. (b)

   Déterminer la matrice de $f$ dans $\mathcal{C}.$

3. (c)

   Calculer la matrice de $f^n$ dans $\mathcal{B}$ pour tout $n\in \mathbb{N}.$

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel muni d’une base $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3).$
Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est

Soit ${\mathcal{B}}^{\prime }=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$ la famille définie par

1. (a)

   Montrer que ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est une base de $E$ et former la matrice $D$ de $f$ dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$.

2. (b)

   Exprimer la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à ${\mathcal{B}}^{\prime }$ et calculer $P^{-1}$.

3. (c)

   Quelle relation lie les matrices $A,D,P$ et $P^{-1}$?

4. (d)

   Calculer $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}.$

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension 3 et $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E.$
On considère les matrices

Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base $\mathcal{B}$ est $A.$

1. (a)

   Montrer qu’il existe une base $\mathcal{C}=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$ de $E$ telle que la matrice de $f$ dans $\mathcal{C}$ soit $D.$

2. (b)

   Déterminer la matrice $P$ de ${GL}_3(\mathbb{R})$ telle que $A=PD{P}^{-1}.$ Calculer $P^{-1}$.

3. (c)

   Calculer $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}.$

4. (d)

   En déduire le terme général des suites ${(x_n)}_{n\in \mathbb{N}},{(y_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ et ${(z_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ définies par:

   $$\{\begin{array}{cc}\hfill x_0=1& \\ \hfill y_0=0& \\ \hfill z_0=0& \end{array}\text{ et }\forall n\in \mathbb{N},\{\begin{array}{cc}\hfill x_{n+1}=4x_n-2(y_n+z_n)& \\ \hfill y_{n+1}=x_n-z_n& \\ \hfill z_{n+1}=3x_n-2y_n-z_n& \end{array}$$

Soient $b=(i,j)$ et $B=(I,J)$ deux bases d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension 2 et $P$ la matrice de passage de $b$ à $B.$
Pour $x\in E,$ notons

1. (a)

   Retrouver la relation entre $v$ et $V.$

2. (b)

   Soient $f\in \mathcal{L}(E)$ et

   $$m={Mat}_{b}f\text{ et }M={Mat}_{B}f$$

   Retrouver la relation entre $m$ et $M.$

3. (c)

   Par quelle méthode peut-on calculer $m^n$ lorsqu’on connaît deux vecteurs propres non colinéaires de $f.$

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base $e=(e_1,e_2,e_3).$
Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ dont la matrice dans la base $e$ est

On pose $e_1^{\prime }=e_1+e_3,$ $e_2^{\prime }=e_1+e_2$ et $e_3^{\prime }=e_1+e_2+e_3.$

1. (a)

   Montrer que la famille $e^{\prime }=(e_1^{\prime },e_2^{\prime },e_3^{\prime })$ forme une base de $E$ et déterminer la matrice $B$ de $f$ dans $e^{\prime }$.

2. (b)

   Calculer $A^n$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3).$
Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ dont la matrice dans la base $\mathcal{B}$ est

On pose ${\epsilon }_1=e_1+e_3,$ ${\epsilon }_2=e_1+e_2$ et ${\epsilon }_3=e_1+e_2+e_3.$

1. (a)

   Montrer que ${\mathcal{B}}^{\prime }=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$ forme une base de $E$ et déterminer la matrice de $f$ dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$.

2. (b)

   Calculer $A^n$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel muni d’une base $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3).$
Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est

1. (a)

   Montrer qu’il existe une base $\mathcal{C}=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$ de $E$ dans laquelle la matrice représentative de $f$ est une matrice diagonale $D$ de coefficients diagonaux: $\mathrm{1,2}\text{ et 3}.$

2. (b)

   Déterminer la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{C}.$ Calculer $P^{-1}$.

3. (c)

   Quelle relation lie les matrices $A,D,P\text{ et }{P}^{-1}$?

4. (d)

   Calculer $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}.$

Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de ${\mathbb{R}}^3$:

1. (a)

   $(x_1,x_2,x_3)$ avec $x_1=(\mathrm{1,1,0}),x_2=(\mathrm{1,0,1})\text{ et }{x}_3=(\mathrm{0,1,1})$

2. (b)

   $(x_1,x_2,x_3)$ avec $x_1=(\mathrm{2,1,1}),x_2=(\mathrm{1,2,1})\text{ et }{x}_3=(\mathrm{1,1,2})$

3. (c)

   $(x_1,x_2,x_3)$ avec $x_1=(\mathrm{1,2,1}),x_2=(\mathrm{1,0,3})\text{ et }{x}_3=(\mathrm{1,1,2}).$

Calculer le rang des applications linéaires suivantes:

1. (a)

   $f:{\mathbb{K}}^3\to {\mathbb{K}}^3$ définie par

   $$f(x,y,z)=(-x+y+z,x-y+z,x+y-z)$$

2. (b)

   $f:{\mathbb{K}}^3\to {\mathbb{K}}^3$ définie par

   $$f(x,y,z)=(x-y,y-z,z-x)$$

3. (c)

   $f:{\mathbb{K}}^4\to {\mathbb{K}}^4$ définie par

   $$f(x,y,z,t)=(x+y-t,x+z+2t\mathrm{,2}x+y-z+t,-x+2y+z)$$

Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres:

1. (a)

   $\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill b+c\hfill & \hfill c+a\hfill & \hfill a+b\hfill \\ \hfill bc\hfill & \hfill ca\hfill & \hfill ab\hfill \end{array}\right)$

2. (b)

   $\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill \cos \theta \hfill & \hfill \cos 2\theta \hfill \\ \hfill \cos \theta \hfill & \hfill \cos 2\theta \hfill & \hfill \cos 3\theta \hfill \\ \hfill \cos 2\theta \hfill & \hfill \cos 3\theta \hfill & \hfill \cos 4\theta \hfill \end{array}\right)$

3. (c)

   $\left(\begin{array}{cccc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill b\hfill & \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill a\hfill \end{array}\right)$