Pour on note la somme des termes de
On pose
Vérifier
Pour on note la somme des termes de
On pose
Vérifier
Soit
avec et
Pour tout on note
Démontrer que, pour tout
Résoudre l’équation où
Soit vérifiant
Pour calculer
Obtenir une relation de récurrence sur
Soient des éléments de deux à deux distincts et
Déterminer les matrices de commutant avec
Soit Montrer que
Soient où est nilpotente et commute avec Montrer que et sont simultanément inversibles.
On suppose que commutent et que est inversible.
Justifier que les matrices et commutent.
Quelles sont les matrices de commutant avec toutes les matrices de ?
Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de
Soient des complexes distincts, et
Montrer que est une base de
Soit avec
Montrer que
Soit On suppose que
Montrer qu’il existe tel que
Soit une matrice triangulaire supérieure.
Montrer que commute avec sa transposée si, et seulement si, la matrice est diagonale.
Soit Déterminer les matrices de commutant avec toutes les matrices symétriques.
Soit Déterminer les matrices de commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Soient et
Déterminer noyau et image de l’endomorphisme
Préciser ces espaces quand est à coefficients diagonaux distincts.
On considère la matrice
et on pose
Calculer pour et en déduire l’expression de .
Calculer pour
de deux manières différentes.
On considère la matrice
Calculer En déduire que est inversible et calculer son inverse.
Pour déterminer le reste de la division euclidienne de par
En déduire l’expression de la matrice .
Soit
Soit Majorer les coefficients de .
Calculer .
Calculer pour
Soit
Observer que
À quelle condition est-elle inversible? Déterminer alors .
Calculer l’inverse des matrices carrées suivantes:
Justifier que
est inversible et déterminer .
Soient et On pose
Calculer En déduire que est inversible et calculer .
Soit
Calculer .
En déduire que est inversible.
Soit
Calculer .
Montrer que est inversible et exprimer .
Soit telle que la matrice soit inversible. On pose
Montrer que
Montrer que est inversible et exprimer en fonction de
Soient () non nulles vérifiant
Montrer qu’au moins deux des matrices ne sont pas inversibles.
Montrer que la matrice
est inversible et calculer son inverse.
Montrer que les matrices carrées d’ordre suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss:
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.
Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de
Montrer que toute matrice de peut s’écrire comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice nilpotente.
Soit l’ensemble des matrices de la forme
avec
Notre objectif est d’établir que l’inverse d’une matrice inversible de appartient encore à sans pour autant calculer cet inverse.
Montrer que est un -espace vectoriel dont on précisera la dimension.
Montrer que est un anneau commutatif.
À quelle condition sur la matrice est-elle inversible dans ? On suppose cette condition vérifiée. En considérant l’application définie par montrer que
(Matrices de permutation)
Soit Pour on note
appelée matrice de permutation associée à
Montrer que
En déduire que est un sous-groupe de isomorphe à .
Vérifier que
Soit l’ensemble des matrices de de la forme
Montrer que est un sous-espace vectoriel de en donner une base.
Montrer que est un sous-anneau commutatif de
Déterminer les inversibles de
Déterminer les diviseurs de zéro de c’est-à-dire les matrices et vérifiant avec
On dit qu’une matrice est centro-symétrique si
Montrer que le sous-ensemble de formé des matrices centro-symétriques est un sous-espace vectoriel de
Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques de est aussi centro-symétrique.
Soit centro-symétrique de et inversible.
En considérant l’application de vers montrer que est centro-symétrique.
Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires suivantes:
On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de suivants:
On note la base canonique de .
On note la projection vectorielle sur parallèlement à celle sur parallèlement à et enfin, la symétrie vectorielle par rapport à et parallèlement à
Former la matrice de dans
En déduire les matrices, dans de et de
Soit l’endomorphisme de défini par
Écrire la matrice de dans la base canonique de
Justifier que est inversible et calculer .
Soit la matrice dont le coefficient général est donné par un coefficient binomial:
Soit l’endomorphisme représenté par la matrice dans la base canonique
Exprimer simplement pour tout
Calculer pour tout
Calculer .
Soient et définie par
Former la matrice de l’endomorphisme du -espace vectoriel dans la base
Déterminer image et noyau de
Soit un -espace vectoriel de dimension 3 et tel que et
Montrer qu’il existe une base de dans laquelle la matrice de est
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension vérifiant
Justifier qu’il existe un vecteur tel que la famille forme une base de
Déterminer les matrices de dans cette base.
En déduire que
Soit un -espace vectoriel muni d’une base
Soit l’endomorphisme de dont la matrice dans est
Calculer . Qu’en déduire sur ?
Déterminer une base de et
Quelle est la matrice de relativement à une base adaptée à la supplémentarité de et ?
Soit
On note la base canonique de .
Soit l’endomorphisme de dont la matrice dans est
Déterminer et Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans .
Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de dans cette base.
Décrire comme composée de transformations vectorielles élémentaires.
Soient un -espace vectoriel de dimension et tel que et
Montrer qu’il existe une base de pour laquelle:
Soit un endomorphisme non nul d’un -espace vectoriel de dimension vérifiant
Soit Démontrer que si avec et alors et
Montrer que
Prouver Montrer que, si alors est une famille libre de
Que vaut ? En déduire
Déterminer une base de dans laquelle la matrice de est
Soit
On note la base canonique de .
Soit l’endomorphisme de dont la matrice dans est
On pose et
Montrer que constitue une base de .
Écrire la matrice de dans cette base.
Déterminer une base de et de
Soit représenté dans la base canonique par:
Soit avec
Montrer que est une base.
Déterminer la matrice de dans
Calculer la matrice de dans pour tout
Soit un -espace vectoriel muni d’une base
Soit l’endomorphisme de dont la matrice dans est
Soit la famille définie par
Montrer que est une base de et former la matrice de dans .
Exprimer la matrice de passage de à et calculer .
Quelle relation lie les matrices et ?
Calculer pour tout
Soit un -espace vectoriel de dimension 3 et une base de
On considère les matrices
Soit l’endomorphisme de dont la matrice dans la base est
Montrer qu’il existe une base de telle que la matrice de dans soit
Déterminer la matrice de telle que Calculer .
Calculer pour tout
En déduire le terme général des suites et définies par:
Soient et deux bases d’un -espace vectoriel de dimension 2 et la matrice de passage de à
Pour notons
Retrouver la relation entre et
Soient et
Retrouver la relation entre et
Par quelle méthode peut-on calculer lorsqu’on connaît deux vecteurs propres non colinéaires de
Soit un -espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base
Soit dont la matrice dans la base est
On pose et
Montrer que la famille forme une base de et déterminer la matrice de dans .
Calculer .
Soit un -espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base
Soit dont la matrice dans la base est
On pose et
Montrer que forme une base de et déterminer la matrice de dans .
Calculer .
Soit un -espace vectoriel muni d’une base
Soit l’endomorphisme de dont la matrice dans est
Montrer qu’il existe une base de dans laquelle la matrice représentative de est une matrice diagonale de coefficients diagonaux: et .
Déterminer la matrice de passage de à Calculer .
Quelle relation lie les matrices ?
Calculer pour tout
Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de :
avec
avec
avec
Calculer le rang des applications linéaires suivantes:
définie par
définie par
définie par
Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres:
Soient et définie par
Donner le rang de et la dimension de son noyau.
Préciser noyau et image de
Calculer .
Soit et deux matrices carrées d’ordre 3 telles que
Montrer que l’une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à .
Soient et telles que
Déterminer les rangs de et
Calculer en observant
Soient et matrices de rang 2 vérifiant
Montrer
Soit un groupe multiplicatif formé d’éléments de
Montrer que les éléments de ont tous le même rang.
Discuter, selon paramètre réel, la dimension des sous-espaces vectoriels de suivants:
On considère, pour paramètre réel, les sous-espaces vectoriels de :
et
Déterminer la dimension de et
Discuter, selon la valeur de la dimension du sous-espace vectoriel
Résoudre en fonction du paramètre les systèmes suivants d’inconnues complexes:
Soient Résoudre le système:
Résoudre le système d’équations suivant d’inconnues complexes:
Résoudre le système d’équations suivant d’inconnues complexes:
Soient des points du plan complexe.
Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins un polygone à sommets tel que:
est le milieu de et est le milieu de
Discuter suivant et et résoudre
Résoudre, en discutant selon le système
Montrer qu’une matrice est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente.
Soit une application vérifiant: et pour tout
Montrer que est inversible si, et seulement si,
Soient
Justifier qu’il existe tels que
On suppose Montrer qu’il existe tels que
Soit Existe-t-il une matrice vérifiant ?
Soit une matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existe tel que
Soit une matrice de rang 1.
Montrer qu’il existe des matrices telles que
En déduire
On suppose Montrer que est inversible et
Soient telle que Montrer que est inversible et
Soient et deux familles libres d’éléments de
Établir que la famille est une base de constituée de matrices de rang .
Soient
On note la matrice obtenue en accolant les colonnes de à droite de celles de
Montrer
On note la matrice obtenue en accolant les lignes de en dessous de celles de
Montrer
En déduire
Soient et la matrice
Établir
Soient et
Montrer
Soient et
On suppose inversible. Établir
Soient et
Déterminer le rang de en fonction de celui de
Soient et
Montrer que est inversible si, et seulement si, l’est.
Calculer pour tout
Soient et
On suppose que les matrices et sont inversibles.
Exprimer .
Soit
Calculer pour tout
Soient
Exprimer le rang de la matrice décrite par blocs
Calculer l’inverse de lorsque cela est possible.
Existe-t-il des matrices vérifiant
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et de rang 1.
Montrer
À quelle condition un endomorphisme de rang 1 est-il un projecteur?
Soient et l’endomorphisme de défini par
Exprimer la trace de en fonction de celle de
Soit une matrice carrée de taille à coefficients dans sous-corps de
Montrer que si il existe deux matrices et telles que
Soit une forme linéaire sur Montrer qu’il existe tel que pour tout
On note la forme linéaire trace sur
Établir
où l’on note
Dans un espace de dimension finie, pourquoi le rang d’un projecteur est-il égal à sa trace?
Soit vérifiant
Montrer
Soient ou et une partie non vide et finie de stable par multiplication.
Soit Montrer que n’est pas injective.
En déduire que est un sous-groupe de
Soient
Montrer, si que En déduire
Trouver un supplémentaire, dans stable par tous les éléments de de
Montrer que
Que dire si cette somme est nulle?
Soit un sous-groupe fini de tel que Montrer que
Soit un sous-groupe fini de un sous-espace vectoriel de stable par les éléments de Montrer qu’il existe un supplémentaire de dans stable par tous les éléments de
Soit une forme linéaire sur vérifiant
Montrer que est proportionnelle à la trace.
Soit une forme linéaire sur vérifiant
montrer que est proportionnelle à la trace.
Soit un endomorphisme de l’espace vectoriel vérifiant
pour toutes et Montrer que conserve la trace.
a) Calculer l’image par des matrices élémentaires.
b) Considérer
Soit Calculer la trace de l’endomorphisme donné par
Pour et fixées dans résoudre dans l’équation
Analyser les solutions en étudiant la trace de l’équation.
Soit un -espace vectoriel de dimension finie
Montrer que de rang 1 n’est pas forcément un projecteur.
Montrer que de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base de constituée de projecteurs.
Soient vérifiant
Montrer
La trace d’un projecteur est égal à son rang.
Soit et deux -espaces vectoriels de dimension finie, Soit On note
Si est bijectif, montrer
Montrer que avec
On suppose que et on définit l’application Montrer
Soit un endomorphisme non nul de vérifiant
Montrer que n’est pas surjectif.
Montrer que n’est pas diagonalisable et que
Montrer que, pour tout la famille est une base de et calculer la trace de
À quelle condition existe-t-il des matrices vérifiant ?
Soient tel que et Calculer
Soit une racine primitive -ième de 1. On pose
pour tout
Montrer que est un automorphisme de et exprimer son inverse.
Soit un espace vectoriel réel de dimension finie
Indiquer des endomorphismes de dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de
Soit une base de Montrer que pour tout la famille est une base de
Déterminer tous les endomorphismes de dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases de
Quels sont les endomorphismes de dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de ?
Soit un élément non nul de vérifiant
Montrer que et que l’on peut trouver une base dans laquelle a pour matrice
Soient définies par
Calculer en utilisant sa matrice.
Retrouver ce résultat d’une autre manière.
Quels sont les telles que ?