Résoudre les équations suivantes:
- (a)
d’inconnues
- (b)
d’inconnue
Résoudre les équations suivantes:
d’inconnues
d’inconnue
Trouver les tels que
Pour développer le polynôme
En déduire que tout entier s’écrit de façon unique comme somme de puissance de 2:
Soit la suite de polynômes définie par
Calculer le coefficient de dans .
Soit Montrer qu’il y a équivalence entre:
;
Soit non constant et tel que Montrer que:
Soit On pose
Montrer
On pourra employer des racines de l’unité.
Soit
Montrer que si est racine de alors
Soit un polynôme non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou nulles. Montrer que le polynôme est scindé dans
Soit un polynôme complexe non constant. Existe-t-il tel que soit scindé à racines simples?
Soit scindé de degré ; on veut montrer que le polynôme est lui aussi scindé.
Énoncer le théorème de Rolle.
Si est racine de de multiplicité déterminer sa multiplicité dans ?
Prouver le résultat énoncé.
Soit une fonction dérivable. On suppose que s’annule au moins fois. Montrer que s’annule au moins fois.
Soit un polynôme scindé à racines simples avec
Montrer que le polynôme est lui aussi scindé.
Montrer que le résultat perdure même si les racines de ne sont pas simples.
Soit un polynôme de degré à coefficients réels possédant racines réelles distinctes.
Montrer que son polynôme dérivé possède exactement racines réelles distinctes.
En déduire que les racines du polynôme sont toutes simples dans
a) Exploiter le théorème de Rolle.
b) Les racines multiple d’un polynôme sont racines communes avec le polynôme dérivé.
Soit un polynôme scindé de degré supérieur à 2.
Montrer que est scindé.
Si est scindé sur montrer que est scindé ou constant sur
Si montrer que n’est pas scindé sur
Soit scindé à racines simples dans Montrer que pour tout les racines de dans sont toutes simples.
Soit scindé sur Montrer que pour tout réel le polynôme est lui aussi scindé sur
Appliquer le théorème de Rolle au produit du polynôme par une exponentielle bien choisie.
Soit simplement scindé sur Montrer que ne peut avoir deux coefficients consécutifs nuls.
Soit scindé à racines simples.
Montrer qu’aucun coefficient nul de ne peut être encadré par deux coefficients non nuls et de même signe.
Soit un polynôme réel unitaire de degré Montrer que est scindé sur si, et seulement si, pour tout complexe
On introduit les racines de
Résoudre les équations suivantes:
d’inconnue
d’inconnue
Montrer que pour tout entier naturel il existe un unique polynôme tel que
Exprimer les coefficients de à l’aide de nombres factoriels.
Soit Montrer
Trouver tous les polynômes tels que
Soit On suppose que vérifie
Montrer que le polynôme ne possède pas de racines dans
Soit tels que et Exprimer le reste de la division euclidienne de par en fonction de et
Soient et
Exprimer le reste de la division euclidienne de par en fonction de et
Soient et
Déterminer le reste de la division euclidienne dans de par
Soit et le reste de la division euclidienne de par
Montrer que le reste de la division euclidienne de par est .
Soient
De la division euclidienne de par déduire celle de par
Établir que
Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant:
En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur pour que divise
Soit
Montrer que divise
En déduire que divise
On note (composition à facteurs).
Établir que divise
Soit Montrer que divise
Soit tels que Montrer que
Soit non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:
et ne sont pas premiers entre eux.
il existe tel que
Soit non nuls.
Montrer: et sont premiers entre eux si, et seulement si, et le sont.
Soient tels que et soient premiers entre eux.
Montrer
On cherche les polynômes
tels que divise
Montrer que, si et que si et il existe 6 polynômes dont 4 dans
Trouver les polynômes si et et en déduire que 13 polynômes en tout conviennent, dont 7 dans
Soit
un polynôme à coefficients entiers tel que
On suppose que admet une racine rationnelle exprimée sous forme irréductible.
Montrer que et
Factoriser
Le polynôme
est-il irréductible dans ?
Soient trois éléments, non nuls et distincts, du corps
Démontrer que le polynôme
peut s’écrire sous la forme où est une constante que l’on déterminera.
Soit Exprimer en fonction de et
En déduire que les racines du polynôme:
sont de la forme Déterminer les .
Montrer que est racine d’un polynôme de degré trois à coefficients dans
Justifier que le nombre est irrationnel.
a) Exploiter
b) Numérateur et dénominateur d’une racine rationnelle d’un polynôme à coefficients entiers divisent les coefficients extrémaux de ce polynôme.
Soient un corps et deux à deux distincts.
Calculer
On pose Calculer
Soient et deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.
Montrer
Justifier les divisibilités suivantes:
Justifier
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur pour que
Déterminer les de tels que
Trouver les tels que
Soient premiers entre eux deux à deux, non constants, et tels que
Soient le nombre de racines distinctes des polynômes respectivement.
Prouver que le degré de est strictement inférieur à
On pourra introduire
Trouver tous les triplets de polynômes complexes tels que
pour donné.
Le résultat s’étend-il à ?
Soit et deux entiers relatifs avec et irrationnel.
Exemple: montrer que est irrationnel.
Quelle est la forme de ?
Montrer que si est racine de alors aussi.
On suppose que est racine double de Montrer que avec et dans
Soit un polynôme non nul tel que
Montrer que si est racine de alors l’est aussi
En déduire que ou bien est racine de l’unité.
Montrer que si vérifie
ses racines sont parmi En déduire tous les polynômes solutions.
Trouver les vérifiant
On cherche les polynômes non nuls tels que
Montrer que toute racine d’un tel est de module 1.
Déterminer les polynômes
Déterminer les polynômes de vérifiant
Commencer par observer que les racines complexes de sont nécessairement de module 1.
Trouver les vérifiant
Factoriser dans puis dans les polynômes suivants:
Factoriser dans les polynômes suivants:
Factoriser le polynôme pour
Former la décomposition primaire dans de (avec ).
Soient et Factoriser dans puis dans le polynôme
Trouver les racines dans du polynôme sachant qu’il possède deux racines dont la somme est 2.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que admette une racine qui soit le double d’une autre. Résoudre alors l’équation.
Résoudre sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.
On considère l’équation: de racines
Former une équation dont et seraient racines.
En déduire les valeurs de
Déterminer les triplets tels que:
Soient tels que Montrer
Pour on pose
Former la décomposition en facteurs premiers de dans
En déduire la valeur de
Soit non nul et
Montrer que les sommes des zéros de sont en progression arithmétique.
Soit un polynôme complexe de racines Calculer
Résoudre dans le système
On considère le polynôme
de racines comptées avec multiplicité.
Pour tout on pose
Établir
Déterminer trois éléments de non tous réels, tels que et soient trois réels.
Montrer que, si sont trois éléments de de modules différents et si et alors et sont trois réels.
Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA
(Polynômes de Tchebychev (1821-1894))
Soit On pose l’application définie par
Calculer et .
Exprimer en fonction de
Établir qu’il existe un unique polynôme de dont la fonction polynomiale associée coïncide avec sur
Donner le degré de ainsi que son coefficient dominant.
Observer que possède exactement racines distinctes, que l’on exprimera, toutes dans
(Polynômes d’interpolation de Lagrange (1736-1813))
Soit une famille d’éléments de deux à deux distincts.
Pour tout on pose
Observer que, pour tout on a
(où est le symbole de Kronecker (1823-1891) qui est égal à 1 lorsque et 0 sinon).
Montrer que
Soit la suite de définie par
Montrer
En déduire
Établir pour que pour tout et pour tout on a
Montrer que pour tout et pour tout on a
En déduire que où est le reste de la division euclidienne de par
Conclure
(Polynômes de Laguerre (1834-1886))
Pour on définit par
Observer que est une fonction polynomiale dont on déterminera le degré et le coefficient dominant.
Soit Montrer qu’il existe un unique polynôme tel que pour tout réel. On le note .
Lier et .
Donner une équation différentielle vérifiée par .
Calculer et
Quels sont les couples vérifiant ?
On définit une suite de polynôme par
Calculer et .
Déterminer degré et coefficient dominant de .
Montrer que, pour tout et pour tout on a
En déduire une expression simple de pour
Déterminer les racines de .
On pose
Démontrer l’existence d’un polynôme de degré et à coefficients positifs ou nul vérifiant
Préciser et calculer