Polynômes [pdf]

Résoudre les équations suivantes:

1. (a)

   $Q^2=X{P}^2$ d’inconnues $P,Q\in \mathbb{K}[X]$

2. (b)

   $P\circ P=P$ d’inconnue $P\in \mathbb{K}[X].$

Trouver les $P\in \mathbb{R}[X]$ tels que $P(X^2)=(X^2+1)P(X).$

1. (a)

   Pour $n\in \mathbb{N},$ développer le polynôme

   $$(1+X)(1+X^2)(1+X^4)\mathrm{\dots }(1+X^{2^n})\text{.}$$

2. (b)

   En déduire que tout entier $p>0$ s’écrit de façon unique comme somme de puissance de 2: $1,2,4,8,\mathrm{\dots }$

Soit ${(P_n)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ la suite de polynômes définie par

Calculer le coefficient de $X^2$ dans $P_n$.

Soit $P\in \mathbb{R}[X].$ Montrer qu’il y a équivalence entre:

1. (i)

   $\forall x\in \mathbb{R},P(x)\ge 0$;

2. (ii)

   $\exists (A,B)\in \mathbb{R}{[X]}^2,P=A^2+B^2.$

Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ non constant et tel que $P(0)=1.$ Montrer que:

Soit $P=a_0+a_{1}X+\mathrm{\cdots }+a_n{X}^n\in \mathbb{C}[X].$ On pose

Montrer

On pourra employer des racines de l’unité.

Soit

Montrer que si $\xi$ est racine de $P$ alors

Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ un polynôme non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou nulles. Montrer que le polynôme $P+\overline{P}$ est scindé dans $\mathbb{R}[X].$

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ scindé de degré $\ge 2$; on veut montrer que le polynôme $P^{\prime }$ est lui aussi scindé.

1. (a)

   Énoncer le théorème de Rolle.

2. (b)

   Si $x_0$ est racine de $P$ de multiplicité $m\ge 1,$ déterminer sa multiplicité dans $P^{\prime }$?

3. (c)

   Prouver le résultat énoncé.

1. (a)

   Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction dérivable. On suppose que $f$ s’annule au moins $n$ fois. Montrer que $f^{\prime }$ s’annule au moins $n-1$ fois.

2. (b)

   Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ un polynôme scindé à racines simples avec $n=\mathrm{deg}(P)\ge 2.$
   Montrer que le polynôme $P^{\prime }$ est lui aussi scindé.

3. (c)

   Montrer que le résultat perdure même si les racines de $P$ ne sont pas simples.

Soit $P$ un polynôme de degré $n+1\in {\mathbb{N}}^{*}$ à coefficients réels possédant $n+1$ racines réelles distinctes.

1. (a)

   Montrer que son polynôme dérivé $P^{\prime }$ possède exactement $n$ racines réelles distinctes.

2. (b)

   En déduire que les racines du polynôme $P^2+1$ sont toutes simples dans $\mathbb{C}.$

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ un polynôme scindé de degré supérieur à 2.
Montrer que $P^{\prime }$ est scindé.

1. (a)

   Si $P\in \mathbb{R}[X]$ est scindé sur $\mathbb{R},$ montrer que $P^{\prime }$ est scindé ou constant sur $\mathbb{R}.$

2. (b)

   Si $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3,$ montrer que $X^{10}+a{X}^9+b{X}^8+c{X}^7+X+1$ n’est pas scindé sur $\mathbb{R}.$

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ scindé à racines simples dans $\mathbb{R}.$ Montrer que pour tout $\alpha \in {\mathbb{R}}^{*}$ les racines de $P^2+{\alpha }^2$ dans $\mathbb{C}$ sont toutes simples.

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ scindé sur $\mathbb{R}.$ Montrer que pour tout réel $\alpha ,$ le polynôme $P^{\prime }+\alpha P$ est lui aussi scindé sur $\mathbb{R}.$

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ simplement scindé sur $\mathbb{R}.$ Montrer que $P$ ne peut avoir deux coefficients consécutifs nuls.

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ scindé à racines simples.
Montrer qu’aucun coefficient nul de $P$ ne peut être encadré par deux coefficients non nuls et de même signe.

Résoudre les équations suivantes:

1. (a)

   $P^{\mathrm{\prime }2}=4P$ d’inconnue $P\in \mathbb{K}[X]$

2. (b)

   $(X^2+1)P^{\mathrm{\prime \prime }}-6P=0$ d’inconnue $P\in \mathbb{K}[X].$

Montrer que pour tout entier naturel $n,$ il existe un unique polynôme $P_n\in \mathbb{R}[X]$ tel que

Exprimer les coefficients de $P_n$ à l’aide de nombres factoriels.

Soit $P\in \mathbb{K}[X].$ Montrer

Trouver tous les polynômes $P\in \mathbb{R}[X]$ tels que

Soit $P\in \mathbb{R}[X].$ On suppose que $a\in \mathbb{R}$ vérifie

Montrer que le polynôme $P$ ne possède pas de racines dans $[a;+\mathrm{\infty }[.$

Soit $(a,b)\in {\mathbb{K}}^2$ tels que $a\ne b$ et $P\in \mathbb{K}[X].$ Exprimer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ en fonction de $P(a)$ et $P(b).$

Soient $a\in \mathbb{K}$ et $P\in \mathbb{K}[X].$
Exprimer le reste de la division euclidienne de $P$ par ${(X-a)}^2$ en fonction de $P(a)$ et $P^{\prime }(a).$

Soient $t\in \mathbb{R}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$
Déterminer le reste de la division euclidienne dans $\mathbb{R}[X]$ de ${(X\cos t+\sin t)}^n$ par $X^2+1.$

Soit $k,n\in {\mathbb{N}}^{*}$ et $r$ le reste de la division euclidienne de $k$ par $n.$
Montrer que le reste de la division euclidienne de $X^k$ par $X^n-1$ est $X^r$.

Soient $n,m\in {\mathbb{N}}^{*}.$

1. (a)

   De la division euclidienne de $n$ par $m,$ déduire celle de $X^n-1$ par $X^m-1.$

2. (b)

   Établir que

   $$pgcd(X^n-1,X^m-1)=X^{pgcd(n,m)}-1\text{.}$$

Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant:

1. (a)

   $X-1\mid X^3-2X^2+3X-2$

2. (b)

   $X-2\mid X^3-3X^2+3X-2$

3. (c)

   $X+1\mid X^3+3X^2-2.$

En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur $(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{K}}^2$ pour que $X^2+2$ divise $X^4+X^3+\lambda X^2+\mu X+2.$

Soit $P\in \mathbb{K}[X].$

1. (a)

   Montrer que $P(X)-X$ divise $P(P(X))-P(X).$

2. (b)

   En déduire que $P(X)-X$ divise $P(P(X))-X.$

3. (c)

   On note $P^{\left[n\right]}=P\circ \mathrm{\dots }\circ P$ (composition à $n\ge 1$ facteurs).
   Établir que $P(X)-X$ divise $P^{\left[n\right]}(X)-X$

Soit $P\in \mathbb{K}[X].$ Montrer que $P(X)-X$ divise $P(P(X))-X.$

Soit $A,B\in \mathbb{K}[X]$ tels que $A^2\mid B^2.$ Montrer que $A\mid B.$

Soit $(A,B)\in {(\mathbb{K}[X])}^2$ non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:

• (i)

  $A$ et $B$ ne sont pas premiers entre eux.

• (ii)

  il existe $(U,V)\in {(\mathbb{K}[X]-\left\{0\right\})}^2$ tel que

  $$AU+BV=0,\mathrm{deg}U<\mathrm{deg}B\text{ et }\mathrm{deg}V<\mathrm{deg}A\text{.}$$

Soit $A,B\in \mathbb{K}[X]$ non nuls.
Montrer: $A$ et $B$ sont premiers entre eux si, et seulement si, $A+B$ et $AB$ le sont.

Soient $A,B,C\in \mathbb{K}[X]$ tels que $A$ et $B$ soient premiers entre eux.
Montrer

On cherche les polynômes

tels que $P(X)$ divise $P(X^3).$
Montrer que, si $a=b,$ $P\in \mathbb{R}[X]$ et que si $a\ne b$ et $a^3\ne b^3,$ il existe 6 polynômes dont 4 dans $\mathbb{R}[X].$
Trouver les polynômes $P$ si $a\ne b$ et $a^3=b^3$ et en déduire que 13 polynômes en tout conviennent, dont 7 dans $\mathbb{R}[X].$

1. (a)

   Soit

   $$P=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\mathrm{\dots }+a_{1}X+a_0$$

   un polynôme à coefficients entiers tel que $a_n\ne 0\text{ et }{a}_0\ne 0.$
   On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $r=p/q$ exprimée sous forme irréductible.
   Montrer que $p\mid a_0$ et $q\mid a_n.$

2. (b)

   Factoriser

   $$P=2X^3-X^2-13X+5\text{.}$$

3. (c)

   Le polynôme

   $$P=X^3+3X-1$$

   est-il irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$?

Soient $a,b,c$ trois éléments, non nuls et distincts, du corps $\mathbb{K}.$
Démontrer que le polynôme

peut s’écrire sous la forme $P=\lambda (X-a)(X-b)(X-c)+1$ où $\lambda$ est une constante que l’on déterminera.

1. (a)

   Soit $n\in \mathbb{N}.$ Exprimer $\sin \left((2n+1)\alpha \right)$ en fonction de $\sin \alpha$ et $\cos \alpha .$

2. (b)

   En déduire que les racines du polynôme:

   $$P(X)=\sum _{p=0}^n{(-1)}^p\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{2n+1}{2p+1}\right)X^{n-p}$$

   sont de la forme $x_k={\cot }^2{\beta }_k.$ Déterminer les ${\beta }_k$.

1. (a)

   Montrer que $a=\cos (\pi /9)$ est racine d’un polynôme de degré trois à coefficients dans $\mathbb{Z}.$

2. (b)

   Justifier que le nombre $a$ est irrationnel.

Soient $p$ et $q$ deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.
Montrer

Justifier les divisibilités suivantes:

1. (a)

   $\forall n\in \mathbb{N},$ $X^2\mid {(X+1)}^n-nX-1$

2. (b)

   $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*},$ ${(X-1)}^3\mid n{X}^{n+2}-(n+2).X^{n+1}+(n+2)X-n$

Justifier

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $n\in \mathbb{N}$ pour que

Déterminer les $P$ de $\mathbb{R}[X]$ tels que

Trouver les $P\in \mathbb{C}[X]$ tels que

1. (a)

   Soient $P,Q,R\in \mathbb{C}[X]$ premiers entre eux deux à deux, non constants, et tels que

   $$P+Q+R=0\text{.}$$

   Soient $p,q,r$ le nombre de racines distinctes des polynômes $P,Q,R$ respectivement.
   Prouver que le degré de $P$ est strictement inférieur à $p+q+r.$
   On pourra introduire $P^{\mathrm{\prime }}\mathit{}Q\mathrm{-}{Q}^{\mathrm{\prime }}\mathit{}P.$

2. (b)

   Trouver tous les triplets de polynômes complexes $(P,Q,R)$ tels que

   $$P^n+Q^n=R^n$$

   pour $n\ge 3$ donné.

3. (c)

   Le résultat s’étend-il à $n=2$?

Soit $P\in \mathbb{Z}[X]$ et $a,b$ deux entiers relatifs avec $b>0$ et $\sqrt{b}$ irrationnel.

1. (a)

   Exemple: montrer que $\sqrt{6}$ est irrationnel.

2. (b)

   Quelle est la forme de ${(a+\sqrt{b})}^n$?

3. (c)

   Montrer que si $a+\sqrt{b}$ est racine de $P$ alors $a-\sqrt{b}$ aussi.

4. (d)

   On suppose que $a+\sqrt{b}$ est racine double de $P.$ Montrer que $P=R{Q}^2$ avec $R$ et $Q$ dans $\mathbb{Z}[X].$

Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ un polynôme non nul tel que

1. (a)

   Montrer que si $a$ est racine de $P$ alors $a^2$ l’est aussi

2. (b)

   En déduire que $a=0$ ou bien $a$ est racine de l’unité.

Montrer que si $P\in \mathbb{R}[X]\setminus \left\{0\right\}$ vérifie

ses racines sont parmi $0,1,-j,-j^2.$ En déduire tous les polynômes solutions.

Trouver les $P\in \mathbb{C}[X]$ vérifiant

On cherche les polynômes $P$ non nuls tels que

1. (a)

   Montrer que toute racine d’un tel $P$ est de module 1.

2. (b)

   Déterminer les polynômes $P.$

Déterminer les polynômes $P$ de $\mathbb{R}[X]\setminus \left\{0\right\}$ vérifiant

Trouver les $P\in \mathbb{C}[X]$ vérifiant

Factoriser dans $\mathbb{C}[X]$ puis dans $\mathbb{R}[X]$ les polynômes suivants:

1. (a)

   $X^4-1$

2. (b)

   $X^5-1$

3. (c)

   ${(X^2-X+1)}^2+1.$

Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ les polynômes suivants:

1. (a)

   $X^4+X^2+1$

2. (b)

   $X^4+X^2-6$

3. (c)

   $X^8+X^4+1$

Factoriser le polynôme ${(X+\mathrm{i})}^n-{(X-\mathrm{i})}^n$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$

Former la décomposition primaire dans $\mathbb{R}[X]$ de $P=X^{2n+1}-1$ (avec $n\in \mathbb{N}$).

Soient $a\in ]0;\pi [$ et $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$ Factoriser dans $\mathbb{C}[X]$ puis dans $\mathbb{R}[X]$ le polynôme

Trouver les racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $X^4+12X-5$ sachant qu’il possède deux racines dont la somme est 2.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda \in \mathbb{C}$ pour que $X^3-7X+\lambda$ admette une racine qui soit le double d’une autre. Résoudre alors l’équation.

Résoudre $x^3-8x^2+23x-28=0$ sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.

On considère l’équation: $x^3-(2+\sqrt{2})x^2+2(\sqrt{2}+1)x-2\sqrt{2}=0$ de racines $x_1,x_2\text{ et }{x}_3.$

1. (a)

   Former une équation dont $x_1^2,x_2^2$ et $x_3^2$ seraient racines.

2. (b)

   En déduire les valeurs de $x_1,x_2,x_3.$

Déterminer les triplets $(x,y,z)\in {\mathbb{C}}^3$ tels que:

1. (a)

   $\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x+y+z& =1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill 1/x+1/y+1/z& =1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill xyz& =-4\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$

2. (b)

   $\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x(y+z)& =1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill y(z+x)& =1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill z(x+y)& =1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$

3. (c)

   $\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x+y+z& =2\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x^2+y^2+z^2& =14\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x^3+y^3+z^3& =20\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$

Soient $x,y,z\in {\mathbb{C}}^{*}$ tels que $x+y+z=0.$ Montrer

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ on pose $P_n={\sum }_{k=0}^n{X}^k.$

1. (a)

   Former la décomposition en facteurs premiers de $P_n$ dans $\mathbb{C}[X].$

2. (b)

   En déduire la valeur de ${\prod }_{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{n+1}.$

Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ non nul et $n=\mathrm{deg}P.$
Montrer que les sommes des zéros de $P,P^{\prime },\mathrm{\dots },P^{(n-1)}$ sont en progression arithmétique.

Soit $P=X^3+a{X}^2+bX+c$ un polynôme complexe de racines $\alpha ,\beta ,\gamma .$ Calculer

Résoudre dans ${\mathbb{C}}^3$ le système

On considère le polynôme

de racines $x_1,\mathrm{\dots },x_n$ comptées avec multiplicité.
Pour tout$p\in \mathbb{N},$ on pose

Établir

1. (a)

   Déterminer trois éléments $a,b,c$ de $\mathbb{C},$ non tous réels, tels que $a+b+c,$ $a^2+b^2+c^2$ et $a^3+b^3+c^3$ soient trois réels.

2. (b)

   Montrer que, si $a,b,c$ sont trois éléments de $\mathbb{C}$ de modules différents et si $a+b+c\in \mathbb{R},$ $a^2+b^2+c^2\in \mathbb{R}$ et $a^3+b^3+c^3\in \mathbb{R},$ alors $a,$$b$ et $c$ sont trois réels.
   Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

(Polynômes de Tchebychev (1821-1894))

Soit $n\in \mathbb{N}.$ On pose $f_n:[-1;1]\to \mathbb{R}$ l’application définie par

1. (a)

   Calculer $f_0,f_1,f_2$ et $f_3$.

2. (b)

   Exprimer $f_{n+1}(x)+f_{n-1}(x)$ en fonction de $f_n(x).$

3. (c)

   Établir qu’il existe un unique polynôme $T_n$ de $\mathbb{R}[X]$ dont la fonction polynomiale associée coïncide avec $f_n$ sur $[-1;1].$

4. (d)

   Donner le degré de $T_n$ ainsi que son coefficient dominant.

5. (e)

   Observer que $T_n$ possède exactement $n$ racines distinctes, que l’on exprimera, toutes dans $]-1;1[.$

(Polynômes d’interpolation de Lagrange (1736-1813))

Soit $(a_0,a_1,\mathrm{\dots },a_n)$ une famille d’éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts.
Pour tout $i\in \{0,1,\mathrm{\dots },n\}$ on pose

1. (a)

   Observer que, pour tout $j\in \{0,1,\mathrm{\dots },n\},$ on a $L_i(a_j)={\delta }_{i,j}$
   (où ${\delta }_{i,j}$ est le symbole de Kronecker (1823-1891) qui est égal à 1 lorsque $i=j$ et 0 sinon).

2. (b)

   Montrer que

   $$\forall P\in {\mathbb{K}}_n[X],P(X)=\sum _{i=0}^{n}P(a_i)L_i(X)\text{.}$$

Soit ${(P_n)}_{n\ge 0}$ la suite de $\mathbb{K}[X]$ définie par

1. (a)

   Montrer

   $$\forall n\in \mathbb{N},P_{n+1}^2=1+P_n{P}_{n+2}\text{.}$$

2. (b)

   En déduire

   $$\forall n\in \mathbb{N},P_n\text{ et }{P}_{n+1}\text{ sont premiers entre eux }\text{.}$$

3. (c)

   Établir pour que pour tout $m\in \mathbb{N}$ et pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ on a

   $$P_{m+n}=P_n{P}_{m+1}-P_{n-1}{P}_m\text{.}$$

4. (d)

   Montrer que pour tout $m\in \mathbb{N}$ et pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ on a

   $$pgcd(P_{m+n},P_n)=pgcd(P_n,P_m)\text{.}$$

   En déduire que $pgcd(P_m,P_n)=pgcd(P_n,P_r)$ où $r$ est le reste de la division euclidienne de $m$ par $n.$

5. (e)

   Conclure

   $$pgcd(P_n,P_m)=P_{pgcd(m,n)}\text{.}$$