Étudier l’existence des intégrales suivantes:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
- (f)
Étudier l’existence des intégrales suivantes:
Étudier l’intégrabilité sur de
Montrer
Étudier l’existence de
Montrer que les fonctions et ne sont pas intégrables sur
Soit continue vérifiant
La fonction est-elle intégrable sur ?
Soit une fonction continue, positive et décroissante.
On pose donnée par
Montrer que les intégrabilités de et de sont équivalentes.
Soit continue et positive. On suppose
Déterminer la nature de
Soit donnée par
Montrer que est dérivable sur mais que sa dérivée n’est pas intégrable sur
Soit définie sur par
où est continue, de carré intégrable sur .
Étudier le prolongement par continuité de en 0.
Exprimer en fonction de et de pour
Pour montrer que
puis montrer que
Étudier la nature de
Énoncer une condition nécessaire et suffisante sur pour l’existence de
désigne un réel strictement supérieur à En posant montrer
Donner en fonction de la nature de la série
Même question pour
Donner la nature de l’intégrale
c) Encadrer à l’aide de et
Soit de classe .
On suppose que et sont intégrables. Déterminer la limite de en
Soit une fonction continue par morceaux.
On suppose que est intégrable. Montrer
Soit une fonction continue, décroissante et intégrable sur .
Montrer que tend vers zéro en
Montrer que tend vers zéro quand
Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonction continue et intégrable sur telle que ne tend pas vers zéro en
Soit continue par morceaux et intégrable.
Montrer qu’il existe une suite de réels positifs vérifiant
Donner un exemple de intégrable et non bornée.
Soit On suppose que et sont intégrables.
Montrer que quand
Montrer que est intégrable.
a) Justifier que possède une limite avant d’observer que celle-ci est nécessairement nulle.
b) La fonction est bornée.
Soit continue et intégrable.
Justifier
En déduire que toute primitive de est uniformément continue.
Soit de classe sur telle que est intégrable sur et telle que l’intégrale soit convergente.
Montrer que
Étudier les séries
Exploiter la formule de Taylor avec reste intégrale, pour , pour ou encore pour primitive de
Calculer les intégrales suivantes:
Calculer les intégrales suivantes:
Calculer les intégrales suivantes:
Calculer
Établir
En factorisant déterminer la valeur de
Justifier et calculer
Justifier l’existence de
Pour on pose
On rappelle Établir que
En déduire la valeur de
Soient avec et admettant une limite finie en et telle que existe.
Justifier l’existence, puis calculer:
Existence et valeur de
Calculer
Montrer que
En déduire
Soit Établir l’existence des intégrales suivantes
puis établir
On pose
Établir
Trouver une relation de récurrence entre et .
En déduire la constance de la suite de terme général
Donner un équivalent de et en déduire la valeur de
Justifier l’existence et calculer
Soit continue, décroissante et positive. On pose pour
Montrer que est intégrable sur si, et seulement si, la suite est convergente et que si tel est le cas
Existence et valeur de
Existence et valeur pour de
Soit En procédant au changement de variable calculer
Calculer
où
Pour quelles valeurs de et l’intégrale suivante est-elle définie?
La calculer lorsque c’est le cas.
Former un développement asymptotique à plusieurs termes de la fonction définissant l’intégrande.
Pour calculer
Soit une fonction continue et croissante sur telle que
Pour montrer que l’intégrale
est définie et la calculer.
Calculer
Trouver une expression simple de
où
Existence et calcul éventuel de
Pour étudier l’existence et déterminer l’éventuelle valeur de
Pour calculer
Soient et dans où ne s’annule pas sur et
Exprimer à l’aide des coefficients intervenant dans la décomposition en éléments simple de
Soit continue telle que l’intégrale suivante converge:
On se donne deux réels
Établir que pour tout
En déduire convergence et valeur de
En opérant le changement de variable calculer
Calculer
en effectuant notamment le changement de variable
En déduire la valeur de
b) Exploiter le changement de variable
Existence et valeur de
On pourra exploiter le changement de variable
Établir
En déduire la valeur de
Existence et calcul de
Calculer
Calculer pour
Existence et calcul pour de
On considère
Étudier l’intégrabilité de sur et
Calculer
b) La première intégrale s’obtient en intégrant par parties où l’on intègre en
Calculer
Soit continue et intégrable. Montrer que les fonctions et suivantes sont intégrables sur et que leurs intégrales y sont égales:
Soit de classe et vérifiant Établir
en justifiant l’existence des intégrales écrites.
Soit une fonction de classe telle que
Déterminer les limites de en
Établir
Existence et calcul de
En réalisant une intégration par parties, calculer
Pour calculer
On pose
Déterminer une suite de fonctions telle que
Déterminer deux réels et tels que
On pose
Calculer .
Former une relation de récurrence engageant et .
Établir qu’il existe tel que
Pour on pose
où représente la partie entière de
Justifier la bonne définition de la suite .
Montrer que pour tout
En déduire une nouvelle expression intégrale de .
On pose
Montrer la convergence de la série de terme général
En déduire un équivalent de .
Soit Déterminer les limites des suites
Calculer, pour
(on procédera par récurrence)
En déduire
Étudier la limite puis un équivalent de
(Intégrale de Dirichlet)
Justifier la convergence de l’intégrale suivante
On peut montrer que celle-ci est égale à mais c’est une autre histoire…
Soit une fonction continue par morceaux, décroissante et de limite nulle. Montrer la convergence de l’intégrale
La fonction admet-elle une limite en ?
Convergence de
Trouver un équivalent en de
Pour on pose
Montrer
En déduire que admet une limite notée en
On pose Montrer que pour
Montrer qu’au voisinage de
Soit continue. On suppose que l’intégrale suivante converge:
Calculer
Soit continue. Montrer
Soit continue et Montrer
Soit avec de classe , décroissante et de limite nulle en
Soit continue telle qu’il existe vérifiant
Montrer la convergence de l’intégrale suivante
Pour primitive de établir l’intégrabilité de
On pose pour
Pour quelles valeurs de l’intégrale définissant existe-t-elle?
Montrer que la fonction est décroissante et de limite nulle en
(Fonction d’Euler)
Pour on note
Montrer que cette dernière intégrale est bien définie pour tout
Justifier
et calculer pour
Pour quelles valeurs de l’intégrale
est-elle définie?
Étudier la monotonie de
Calculer
Déterminer la limite de en ainsi qu’un équivalent.
Déterminer la limite de en ainsi qu’un équivalent.
Soit une fonction de classe intégrable.
Soit Montrer
Montrer
Pour on pose
Montrer que est bien définie pour tout
Établir que est de classe sur et calculer
Montrer
Sans exprimer justifier l’existence et calculer
Donner la nature de l’intégrale
On pose pour tout réel
Montrer que est de classe sur et exprimer sa dérivée.
Calculer
a) Réexrpimer l’intégrale partielle en procédant à une intégration par parties.
c) Encore une intégration par parties et établir que tend vers 0 quand tend vers par une nouvelle intégration par parties!
Pour tout on pose
Montrer que est bien définie, continue sur et de classe sur Exprimer
Étudier la dérivabilité de en . Préciser la tangente au graphe de en .
Étudier la limite de en
Justifier que réalise une bijection de sur un intervalle à préciser et que est dérivable sur et solution de l’équation différentielle
Étudier la dérivabilité de en .
Justifier que
où représente la partie entière de est définie sur .
Montrer que tend vers une limite quand tend vers
Montrer que
On note ; montrer que la série de terme général
converge et en déduire un équivalent de
Déterminer un équivalent quand du terme
Utiliser une intégration par parties
Déterminer un développement asymptotique à trois termes quand de l’expression
Intégrer par parties
Soit une fonction continue. Pour déterminer
Soit de classe et non intégrable. On suppose
Montrer
Soit continue par morceaux, monotone et intégrable sur
Étudier
Application: Déterminer