Intégration sur un intervalle quelconque [pdf]

Étudier l’existence des intégrales suivantes:

1. (a)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t{\mathrm{e}}^{-\sqrt{t}}}{1+t^2}\mathrm{d}t$

2. (b)

   ${\int }_0^1\frac{\ln t}{\sqrt{{(1-t)}^3}}\mathrm{d}t$

3. (c)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{{\mathrm{e}}^t-1}$

4. (d)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-{(\ln t)}^2}\mathrm{d}t$

5. (e)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t\arctan t}\mathrm{d}t$

6. (f)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t+2-\sqrt{t^2+4t+1}\mathrm{d}t$

1. (a)

   Étudier l’intégrabilité sur $]1;+\mathrm{\infty }[$ de

   $$f(x)=\frac{\sqrt{\ln x}}{(x-1)\sqrt{x}}\text{.}$$

2. (b)

   Montrer

   $${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x\le \frac{\ln 3}{2}\text{.}$$

Étudier l’existence de

Montrer que les fonctions $t\mapsto \sin t$ et $t\mapsto \frac{\sin t}{t}$ ne sont pas intégrables sur $[0;+\mathrm{\infty }[.$

Soit $f:[1;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ continue vérifiant

La fonction $f$ est-elle intégrable sur $[1;+\mathrm{\infty }[$?

Soit $f:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ une fonction continue, positive et décroissante.
On pose $g:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ donnée par

Montrer que les intégrabilités de $f$ et de $g$ sont équivalentes.

Soit $f:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ continue et positive. On suppose

Déterminer la nature de ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t.$

Soit $f:[0;1]\to \mathbb{R}$ donnée par

Montrer que $f$ est dérivable sur $[0;1]$ mais que sa dérivée $f^{\prime }$ n’est pas intégrable sur $]0;1].$

Soit $g$ définie sur ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$ par

où $f$ est continue, de carré intégrable sur ${\mathbb{R}}_{+}$.

1. (a)

   Étudier le prolongement par continuité de $g$ en 0.

2. (b)

   Exprimer $g^{\prime }(x)$ en fonction de $f(x)$ et de $g(x)$ pour $x>0.$

3. (c)

   Pour $0<a<b,$ montrer que

   $${\int }_a^b{g}^2(t)\mathrm{d}t=2{\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t+a{g}^2(a)-b{g}^2(b)$$

   puis montrer que

   $$\sqrt{{\int }_a^b{g}^2(t)\mathrm{d}t}\le \sqrt{{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{f}^2(t)\mathrm{d}t}+\sqrt{a{g}^2(a)+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{f}^2(t)\mathrm{d}t}\text{.}$$

4. (d)

   Étudier la nature de

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{g}^2(t)\mathrm{d}t\text{.}$$

Énoncer une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha \in \mathbb{R}$ pour l’existence de

1. (a)

   $a$ désigne un réel strictement supérieur à $-1.$ En posant $x=\tan t,$ montrer

   $${\int }_0^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}t}{1+a{\sin }^2(t)}=\frac{\pi }{2\sqrt{1+a}}\text{.}$$

2. (b)

   Donner en fonction de $\alpha >0,$ la nature de la série

   $$\sum {\int }_0^{\pi }\frac{\mathrm{d}t}{1+{(n\pi )}^{\alpha }{\sin }^2(t)}\text{.}$$

3. (c)

   Même question pour

   $$\sum {\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{\alpha }{\sin }^2(t)}\text{.}$$

4. (d)

   Donner la nature de l’intégrale

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{\alpha }{\sin }^2(t)}\text{.}$$

Soit $f:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$.
On suppose que $f^2$ et $f^{\mathrm{\prime }2}$ sont intégrables. Déterminer la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }.$

Soit $f:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ une fonction continue par morceaux.
On suppose que $f$ est intégrable. Montrer

Soit $f:{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$ une fonction continue, décroissante et intégrable sur ${\mathbb{R}}_{+}$.

1. (a)

   Montrer que $f$ tend vers zéro en $+\mathrm{\infty }.$

2. (b)

   Montrer que $xf(x)$ tend vers zéro quand $x\to +\mathrm{\infty }$

3. (c)

   Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonction $f$ continue et intégrable sur ${\mathbb{R}}_{+}$ telle que $f$ ne tend pas vers zéro en $+\mathrm{\infty }.$

Soit $f:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ continue par morceaux et intégrable.
Montrer qu’il existe une suite $(x_n)$ de réels positifs vérifiant

Donner un exemple de $f\in {\mathcal{C}}^0({\mathbb{R}}_{+},{\mathbb{R}}_{+})$ intégrable et non bornée.

Soit $f\in {\mathcal{C}}^2([0;+\mathrm{\infty }[,\mathbb{R}).$ On suppose que $f$ et $f^{\mathrm{\prime \prime }}$ sont intégrables.

1. (a)

   Montrer que $f^{\prime }(x)\to 0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }.$

2. (b)

   Montrer que $f.f^{\prime }$ est intégrable.

Soit $g:{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$ continue et intégrable.

1. (a)

   Justifier

   $$\forall \epsilon >0,\exists M\in \mathbb{R},|{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\left|g(t)\right|\mathrm{d}t-{\int }_0^M\left|g(t)\right|\mathrm{d}t|\le \epsilon \text{.}$$

2. (b)

   En déduire que toute primitive de $g$ est uniformément continue.

Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ telle que $f^{\mathrm{\prime \prime }}$ est intégrable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et telle que l’intégrale ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t$ soit convergente.

1. (a)

   Montrer que

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x)=0\text{ et }\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0\text{.}$$

2. (b)

   Étudier les séries

   $$\sum f(n)\text{ et }\sum f^{\prime }(n)\text{.}$$

Calculer les intégrales suivantes:

1. (a)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{(t+1)(t+2)}$

2. (b)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{({\mathrm{e}}^t+1)({\mathrm{e}}^{-t}+1)}$

3. (c)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\ln (1+\frac{1}{t^2})\mathrm{d}t$

4. (d)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\sqrt{t}}\mathrm{d}t$

5. (e)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln t}{{(1+t)}^2}\mathrm{d}t$

Calculer les intégrales suivantes:

1. (a)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{{\mathrm{e}}^t+1}}$

2. (b)

   ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{sht}$

3. (c)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t\ln t}{{(t^2+1)}^2}\mathrm{d}t$

4. (d)

   ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^2\sqrt{1+t^2}}$

5. (e)

   ${\int }_0^1\frac{\ln t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t$

Calculer les intégrales suivantes:

1. (a)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t$

2. (b)

   ${\int }_0^{\pi /2}\sin x\ln (\sin x)\mathrm{d}x$

3. (c)

   ${\int }_0^1\frac{\ln t}{\sqrt{1-t}}\mathrm{d}t$

4. (d)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt[3]{x}}$

5. (e)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x(1+x)}\mathrm{d}x$

6. (f)

   ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(1+x)}^{1/3}-1}{x{(1+x)}^{2/3}}\mathrm{d}x$

7. (g)

   ${\int }_0^{2\pi }\frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x}$

8. (h)

   ${\int }_0^{2\pi }\frac{{\sin }^2(x)}{3{\cos }^2(x)+1}\mathrm{d}x$

9. (i)

   ${\int }_0^1\frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{x-x^2}}$

1. (a)

   Calculer

   $$J={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t\mathrm{d}t}{1+t^4}\text{.}$$

2. (b)

   Établir

   $$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^4}={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^2\mathrm{d}t}{1+t^4}\text{.}$$

3. (c)

   En factorisant $1+t^4$ déterminer la valeur de $I.$

Justifier et calculer

1. (a)

   Justifier l’existence de

   $$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^{3}t}{t^2}\mathrm{d}t\text{.}$$

   Pour $x>0,$ on pose

   $$I(x)={\int }_x^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^{3}t}{t^2}\mathrm{d}t\text{.}$$

2. (b)

   On rappelle $\sin 3a=3\sin a-4{\sin }^{3}a.$ Établir que

   $$I(x)=\frac{3}{4}{\int }_x^{3x}\frac{\sin t}{t^2}\mathrm{d}t\text{.}$$

3. (c)

   En déduire la valeur de $I.$

Soient $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ avec $a<b$ et $f\in {\mathcal{C}}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ admettant une limite finie $\mathrm{\ell }$ en $-\mathrm{\infty }$ et telle que ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f$ existe.
Justifier l’existence, puis calculer:

Existence et valeur de

Calculer

1. (a)

   Montrer que

   $$\forall x\in \mathbb{R},{\mathrm{e}}^x\ge 1+x\text{.}$$

   En déduire

   $$\forall t\in \mathbb{R},1-t^2\le {\mathrm{e}}^{-t^2}\le \frac{1}{1+t^2}\text{.}$$

2. (b)

   Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$ Établir l’existence des intégrales suivantes

   $$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t,I_n={\int }_0^1{(1-t^2)}^n\mathrm{d}t\text{ et }{J}_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{{(1+t^2)}^n}$$

   puis établir

   $$I_n\le \frac{I}{\sqrt{n}}\le J_n\text{.}$$

3. (c)

   On pose

   $$W_n={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x\text{.}$$

   Établir

   $$I_n=W_{2n+1}\text{ et }{J}_{n+1}=W_{2n}\text{.}$$

4. (d)

   Trouver une relation de récurrence entre $W_n$ et $W_{n+2}$.
   En déduire la constance de la suite de terme général

   $$u_n=(n+1)W_n{W}_{n+1}\text{.}$$

5. (e)

   Donner un équivalent de $W_n$ et en déduire la valeur de $I.$

Justifier l’existence et calculer

Soit $f:]0;1]\to \mathbb{R}$ continue, décroissante et positive. On pose pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Montrer que $f$ est intégrable sur $]0;1]$ si, et seulement si, la suite $(S_n)$ est convergente et que si tel est le cas

Existence et valeur pour $a>0$ de

Soit $a>0.$ En procédant au changement de variable $u=a/t,$ calculer

Calculer

où $a>0.$

Pour quelles valeurs de $a$ et $b$ l’intégrale suivante est-elle définie?

La calculer lorsque c’est le cas.

Pour $a>0,$ calculer

Soit $f$ une fonction continue et croissante sur $\mathbb{R}$ telle que ${lim}_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=\mathrm{\ell }.$

1. (a)

   Pour $a>0,$ montrer que l’intégrale

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x+a)-f(x)\mathrm{d}x$$

   est définie et la calculer.

2. (b)

   Calculer

   $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\arctan (x+a)-\arctan (x)\mathrm{d}x\text{.}$$

Trouver une expression simple de

où $x,y\in ]-1;1[.$

Existence et calcul éventuel de

Pour $\alpha \in \mathbb{R},$ étudier l’existence et déterminer l’éventuelle valeur de

Pour $a,b>0,$ calculer

Soient $P$ et $Q$ dans $\mathbb{R}[X],$ où $Q$ ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$ et $\mathrm{deg}P\le \mathrm{deg}Q-2.$
Exprimer ${\int }_{\mathbb{R}}P/Q$ à l’aide des coefficients intervenant dans la décomposition en éléments simple de $P/Q.$

Soit $f:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ continue telle que l’intégrale suivante converge:

On se donne deux réels $0<a<b.$

1. (a)

   Établir que pour tout $x>0$

   $${\int }_x^{+\mathrm{\infty }}\frac{f(at)-f(bt)}{t}\mathrm{d}t={\int }_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t\text{.}$$

2. (b)

   En déduire convergence et valeur de

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{f(at)-f(bt)}{t}\mathrm{d}t\text{.}$$

En opérant le changement de variable $t={\mathrm{e}}^{-x},$ calculer

1. (a)

   Calculer

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1+x^2}{1+x^4}\mathrm{d}x$$

   en effectuant notamment le changement de variable $x={\mathrm{e}}^t.$

2. (b)

   En déduire la valeur de

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^4}\text{.}$$

Existence et valeur de

On pourra exploiter le changement de variable $u=1/t.$

1. (a)

   Établir

   $$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{x^3+1}={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x}{x^3+1}\mathrm{d}x\text{.}$$

2. (b)

   En déduire la valeur de $I.$

Existence et calcul de

Calculer

Calculer pour $n\in \mathbb{N},$

Existence et calcul pour $n\in \mathbb{N}$ de

On considère

1. (a)

   Étudier l’intégrabilité de $f$ sur $]0;1]$ et $[1;+\mathrm{\infty }[.$

2. (b)

   Calculer

   $${\int }_0^1\frac{\ln t}{{(1+t)}^2}\mathrm{d}t\text{ et }{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln t}{{(1+t)}^2}\mathrm{d}t\text{.}$$

Calculer

Soit $f:[1;+\mathrm{\infty }]\to \mathbb{R}$ continue et intégrable. Montrer que les fonctions $u$ et $v$ suivantes sont intégrables sur $[1;+\mathrm{\infty }[$ et que leurs intégrales y sont égales:

Soit $f:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ et vérifiant $f(0)=0.$ Établir

en justifiant l’existence des intégrales écrites.

Soit $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ telle que

1. (a)

   Déterminer les limites de $x\mapsto xu{(x)}^2$ en $\pm \mathrm{\infty }.$

2. (b)

   Établir

   $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{u}^{\prime }{(x)}^2\mathrm{d}x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{x}^{2}u{(x)}^2\mathrm{d}x\ge \frac{1}{4}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}u{(x)}^2{\mathrm{d}x)}^2\text{.}$$

Existence et calcul de

En réalisant une intégration par parties, calculer

On pose

1. (a)

   Déterminer une suite de fonctions $(f_n)$ telle que

   $$I_n={\int }_0^1{f}_n(t)\mathrm{d}t\text{.}$$

2. (b)

   Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que

   $$I_n=a+\frac{b}{n}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{n}\right)\text{ quand }n\to +\mathrm{\infty }\text{.}$$

On pose

1. (a)

   Calculer $J_0$.

2. (b)

   Former une relation de récurrence engageant $J_n$ et $J_{n+1}$.

3. (c)

   Établir qu’il existe $A>0$ tel que

   $$J_n\sim \frac{A}{\sqrt[3]{n}}\text{.}$$

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{*},$ on pose

où $\lfloor t\rfloor$ représente la partie entière de $t.$

1. (a)

   Justifier la bonne définition de la suite ${(u_n)}_{n\ge 1}$.

2. (b)

   Montrer que pour tout $A>0$

   $${\int }_0^A\frac{t-\lfloor t\rfloor }{t(t+n)}\mathrm{d}t=\frac{1}{n}({\int }_0^n\frac{t-\lfloor t\rfloor }{t}\mathrm{d}t-{\int }_A^{A+n}\frac{t-\lfloor t\rfloor }{t}\mathrm{d}t)\text{.}$$

   En déduire une nouvelle expression intégrale de $u_n$.

3. (c)

   On pose

   $$v_n=n{u}_n\text{.}$$

   Montrer la convergence de la série de terme général

   $$v_n-v_{n-1}-\frac{1}{2n}\text{.}$$

4. (d)

   En déduire un équivalent de $u_n$.

1. (a)

   Soit $f\in {\mathcal{C}}^1([a;b],\mathbb{R}).$ Déterminer les limites des suites

   $$({\int }_a^{b}f(t)\sin (nt){\mathrm{d}t)}_{n\in \mathbb{N}}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}({\int }_a^{b}f(t)\cos (nt){\mathrm{d}t)}_{n\in \mathbb{N}}\text{.}$$

2. (b)

   Calculer, pour $n\in {\mathbb{N}}^{*},$

   $${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin (2nt)\cos t}{\sin t}\mathrm{d}t$$

   (on procédera par récurrence)

3. (c)

   En déduire

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t\text{.}$$

4. (d)

   Étudier la limite puis un équivalent de

   $$({\int }_0^{\pi /2}\ln (2\sin (t/2))\cos (nt){\mathrm{d}t)}_{n\in \mathbb{N}}\text{.}$$

(Intégrale de Dirichlet)

Justifier la convergence de l’intégrale suivante

On peut montrer que celle-ci est égale à $\pi /2$ mais c’est une autre histoire…

Soit $f:[0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ une fonction continue par morceaux, décroissante et de limite nulle. Montrer la convergence de l’intégrale

La fonction $x\mapsto {\int }_0^x\sin ({\mathrm{e}}^t)\mathrm{d}t$ admet-elle une limite en $+\mathrm{\infty }$?

Convergence de

Trouver un équivalent en $+\mathrm{\infty }$ de

Pour $x>0,$ on pose

1. (a)

   Montrer

   $$f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x}^2}-1}{2\mathrm{i}x}+\frac{1}{2\mathrm{i}}{\int }_0^x\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{t}^2}-1}{t^2}\mathrm{d}t\text{.}$$

   En déduire que $f$ admet une limite notée $\lambda$ en $+\mathrm{\infty }.$

2. (b)

   On pose $g(x)=\lambda -f(x).$ Montrer que pour $x>0$

   $$g(x)=\frac{1}{2\mathrm{i}}{\int }_x^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{t}^2}}{t^2}\mathrm{d}t-\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x}^2}}{2\mathrm{i}x}\text{.}$$

3. (c)

   Montrer qu’au voisinage de $+\mathrm{\infty }$

   $$g(x)=-\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x}^2}}{2\mathrm{i}x}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{x^3}\right)\text{.}$$