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Ce site propose des documents mathématiques relatifs aux classes MP et MPSI.

Vous trouverez des exercices, des problèmes de première année, des cours complets.

Pour proposer un contenu plus riche et plus dynamique, une grande portion de ce site utilise le langage de balisage MathML qui permet d'écrire directement à l'intérieur d'une page Web des équations mathématiques.

Cependant, ce langage n'est pas compris par tous les logiciels de navigation...

avec Firefox, pas de problème, le site est d'ailleur optimisé pour ce navigateur ;

avec d'autres navigateurs je vous recommande d'activer MathJax et d'autoriser le JavaScript.

Une astuce : pour agrandir une équation, cliquer dessus !

Changement de programme

Le cours de spé est COMPLET, le cours de sup est incomplet

Avec Firefox, sans activer MathJax, vous obtiendrez la navigation la plus rapide, mais l'installation de fontes mathématiques est recommandée pour améliorer la qualité de l'affichage.

Vous trouverez celles-ci ICI

Par exemple, pour une installation sous Windows, choisissez : MathML fonts installer

Bonne visite !

david Delaunay (mpsiddl@free.fr)

Dernier exercice ajouté :

Exercice 4090

(2.5)

[Correction] [Signaler une erreur] [Code URL] [Code TeX]

Soit $A \in M_{n} (K)$ telle que la suite ${(A^{p})}_{p \in N}$ soit bornée. On étudie la suite ${(B_{p})}_{p \geq 1}$ avec

B_{p} = \frac{1}{p} \sum_{k = 0}^{p - 1} A^{k}

a) Montrer que la suite ${(B_{p})}_{p \geq 1}$ admet une valeur d'adhérence $B .$

b) Montrer que $B$ vérifie $B (I_{n} - A) = O_{n}$ et $B^{2} = B .$

c) En déduire que $B$ est une projection sur $\ker (A - I_{n})$ parallèlement à $Im (A - I_{n}) .$

d) Conclure que la suite ${(B_{p})}_{p \geq 1}$ converge vers $B .$