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Soient ${(u_n)}_{n\ge 1}$ une suite réelle et ${(v_n)}_{n\ge 1}$ la suite de ses moyennes de Cesàro:

• (a)

  Montrer que $(n+1)v_n^2-(n-1)v_{n-1}^2\le 2u_n{v}_n$ pour tout $n\ge 2.$

On suppose désormais que la série de terme général $u_n^2$ converge.

• (b)

  Montrer que la série de terme général $v_n^2$ converge et vérifier

  $$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{v}_n^2\le 4\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n^2$$

• (c)

  En déduire la sommabilité de la famille

  $${\left(\frac{u_n{u}_m}{n+m}\right)}_{m,n\ge 1}$$